Determine um conjunto gerador do subespaço vetorial W de V em cada um dos itens abaixo.
V=\mathbb{R}^{3}, W=\{(x, 2 x, 3 x) \mid x \in \mathbb{R}\}

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^3 e define o subespaço
W=\{(x,2x,3x)\mid x\in\mathbb{R}\}.
O conteúdo aqui é subespaços e conjuntos geradores: queremos encontrar um conjunto de vetores em V que, por combinação linear, produza todo vetor de W.

Passo 2

Observe que todo vetor em W pode ser escrito como
(x,2x,3x)=x\,(1,2,3).
Isso mostra que qualquer elemento de W é múltiplo escalar do vetor (1,2,3).

Passo 3

Como todo vetor de W é x\,(1,2,3) para algum escalar x, basta o vetor (1,2,3) para gerar W. Assim, W=\mathrm{span}\{(1,2,3)\}.

Resposta

\{(1,2,3)\}

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