Determine um conjunto gerador do subespaço vetorial W de V em cada um dos itens abaixo.
V=\mathbb{R}^{3}, W=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+y-3 z=0 \in \mathbb{R}\right\}

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x + y - 3z = 0\}
e pede um conjunto gerador de W. Vamos usar parametrização em função de variáveis livres.

Passo 2

Da condição x + y - 3z = 0 isolamos x:
x = -y + 3z.

Passo 3

Escolhemos y = s e z = t como parâmetros livres. Então
(x,y,z) = (-s + 3t,\;s,\;t).

Passo 4

Expressamos (x,y,z) como combinação linear de dois vetores:
(-s+3t,\;s,\;t) = s\,(-1,1,0) \;+\; t\,(3,0,1).

Passo 5

Portanto, os vetores \,(-1,1,0) e (3,0,1) geram o subespaço W.

Resposta

\{(-1,1,0),(3,0,1)\}

Exercícios relacionados