Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
(d) W=(ccx & y z & w) in M2(R) ; x+y=z e w=2 y;

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores para o subespaço
W = lx & y z & win M2(R) mid x+y=z e w=2yr
O conteúdo aqui é caracterizar um subespaço por equações lineares e depois parametrizar seus elementos para extrair uma base (conjunto de geradores minimal).

Passo 2

Usamos as duas condições para escrever z e w em função de x e y:
z = x + y, w = 2y
Logo um elemento genérico de W é
x & y x+y & 2y

Passo 3

Agora vemos que podemos separar os parâmetros x e y. Escrevemos
x & y x+y & 2y = x, 1 & 0 1 & 0 ;+ y, 0 & 1 1 & 2
Isto mostra que todo elemento de W é combinação linear dessas duas matrizes.

Passo 4

As matrizes
E1 = 1 & 0 1 & 0, E2 = 0 & 1 1 & 2
geram W. Como temos dois parâmetros livres e essas duas matrizes são linearmente independentes, elas formam também uma base de W.

Resposta

Um conjunto de geradores para W é
l 1 & 0 1 & 0, ; 0 & 1 1 & 2 r

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