Q 7 Considere os vetores v=(1,2,1) e w=(2,1,0), ambos do R^3.
(a) Escreva cinco combinações lineares de v e w.
(b) Determine o conjunto de todas as combinações lineares de v e w, ou seja, o subespaço gerado por v e w.
(c) Verifique se o vetor u=(7,-1,-3) in[v, w].

Passo 1

O enunciado dá os vetores v=(1,2,1) e w=(2,1,0) em R^3 e pede: (a) cinco combinações lineares de v e w; (b) descrição de todo o subespaço gerado por v e w; (c) verificar se u=(7,-1,-3) pertence a esse subespaço. O conteúdo envolve definições de combinação linear, span de vetores e teste de pertencimento através da resolução de equações lineares.

Passo 2

Para obter cinco combinações lineares de v e w, basta escolher escalares a,binR. Por exemplo:
1) ;0cdot v + 0cdot w = (0,0,0)
2) ;1cdot v + 0cdot w = (1,2,1)
3) ;0cdot v + 1cdot w = (2,1,0)
4) ;2cdot v -1cdot w = (2cdot1 -2,;2cdot2 -1,;2cdot1 -0) = (-0,3,2)
5) -3cdot v +5cdot w = (-3 +10,;-6+5,;-3+0) = (7,-1,-3)

Passo 3

Uma combinação geral é
a,v + b,w = (a+2b,;2a+b,;a)
Chamando esse vetor de (x,y,z), temos
x = a + 2b, y = 2a + b, z = a
Da terceira equação a = z. Substituindo em x e y
x = z + 2bLongrightarrow b = x - z2,
y = 2z + b = 2z + x - z2 = x + 3z2
Logo, o subespaço [v,w] é o plano
(x,y,z)inR^3mid 2y = x + 3z

Passo 4

Para verificar se u=(7,-1,-3) está em [v,w], testamos 2y = x + 3z:
2cdot(-1) = -2, 7 + 3cdot(-3) = 7 -9 = -2
Como -2 = -2, existe combinação. De fato, tomamos a=z=-3 e b=(7-(-3))/2=5 e obtemos
-3,v + 5,w = (7,-1,-3) = u

Resposta

(a) Exemplos de combinações lineares:
(0,0,0),;(1,2,1),;(2,1,0),;(-0,3,2),;(7,-1,-3).
(b) O subespaço gerado é
[v,w] = (x,y,z)inR^3 mid 2y = x + 3z
(c) Sim, ,u=(7,-1,-3)in[v,w] e de fato
u = -3,v + 5,w

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