Q 7 Considere os vetores
e
, ambos do
.
(a) Escreva cinco combinações lineares de
e
.
(b) Determine o conjunto de todas as combinações lineares de
e
, ou seja, o subespaço gerado por
e
.
(c) Verifique se o vetor
.
(a) Escreva cinco combinações lineares de
(b) Determine o conjunto de todas as combinações lineares de
(c) Verifique se o vetor
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
em
e pede: (a) cinco combinações lineares de
e
; (b) descrição de todo o subespaço gerado por
e
; (c) verificar se
pertence a esse subespaço. O conteúdo envolve definições de combinação linear, span de vetores e teste de pertencimento através da resolução de equações lineares.
Passo 2
Para obter cinco combinações lineares de
e
, basta escolher escalares
. Por exemplo:
1)
2)
3)
4)
5)
Passo 3
Uma combinação geral é
Chamando esse vetor de
, temos
Da terceira equação
. Substituindo em
e
dá
Logo, o subespaço
é o plano
Passo 4
Para verificar se
está em
, testamos
:
Como
, existe combinação. De fato, tomamos
e
e obtemos
Resposta
(a) Exemplos de combinações lineares:
.
(b) O subespaço gerado é
(c) Sim,
e de fato