Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
(e) W=p(x) in P3(R) ; p(-1)=p^prime(1)=0;

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores para o subespaço
W = ,p(x)inP3(R) mid p(-1)=0,;p'(1)=0
Vamos usar um polinómio geral de grau <=3 e impor essas duas condições para encontrar relações lineares entre os coeficientes.

Passo 2

Considere
p(x)=a x^3+b x^2+c x+d,
com a,b,c,dinR. Então
p(-1)=-a+b -c+d=0
e
p'(x)=3a x^2+2b x+c Longrightarrow p'(1)=3a+2b+c=0

Passo 3

Da segunda condição obtemos
c=-3a-2b
Substituindo em -a+b-c+d=0
-a+b-(-3a-2b)+d=0 Longrightarrow d=-2a-3b

Passo 4

Logo
p(x)=al(x^3-3x-2r)+bl(x^2-2x-3r)
Isto mostra que
W=span,x^3-3x-2,;x^2-2x-3

Resposta

Um conjunto de geradores é
,x^3-3x-2,;x^2-2x-3

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