Q 8 Considere os vetores e v3=(cc0 & 1 0 & -1), do espaço M2(R).
(a) Escreva u=(cc3 & 7 0 & -4) como combinação linear de v1, v2 e v3. Esta combinação linear é única?
(b) Escreva u como combinação linear de v1 e v2. Esta combinação linear é única?
(c) Verifique se w=(ll3 & 0 0 & 1) pode ser escrito como uma combinação linear de v1, v2 e v3.
Passo 1
O enunciado trabalha com o espaço vetorial M2(R) (matrizes 2times2) e pede para expressar matrizes u e w como combinação linear de
v1=1 & 00 & 1, v2=1 & -10 & 2, v3=0 & 10 & -1
Vamos resolver três sistemas lineares obtidos de
alpha v1 + beta v2 + gamma v3 = 3 & 70 & -4,
depois com só alpha v1+beta v2, e finalmente ver se
alpha v1 + beta v2 + gamma v3 = 3 & 00 & 1
é possível.
Passo 2
Para
Das duas primeiras obtemos . A terceira se reduz a , a mesma da primeira, mostrando dependência. Logo há infinitas soluções, por exemplo tomando parâmetro :
Portanto a combinação existe e não é única.
Passo 3
Para
De . Substituindo em dá , que satisfaz . Há solução única:
Passo 4
Para
Da segunda , que contradiz a primeira . Logo não há combinação linear que produza .
Resposta
(a) Uma família de soluções é alpha=3-t, beta=t, gamma=7+t, tinR. A combinação não é única.
(b) alpha=10, beta=-7. A combinação é única.
(c) Não existe alpha,beta,gamma tais que alpha v1+beta v2+gamma v3=w.