Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
(f) W=p(x) in P2(R) ; p(2)=0;

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores para o subespaço
W = ,p(x)in P2(R) mid p(2)=0
O conteúdo envolve subespaços de polinômios e o uso do Teorema do Resto (ou Teorema das Raízes) para polinômios.

Passo 2

Como p(2)=0, o Teorema do Resto garante que (x-2) é fator de p(x). Portanto existe q(x)in P1(R) tal que
p(x) = (x-2),q(x)

Passo 3

Escrevendo
q(x) = a,x + b com a,binR,
obtemos
p(x) = (x-2)(a,x + b) = a,x(x-2) + b,(x-2)
Isto mostra que todo pin W é combinação linear de x(x-2) e de (x-2).

Passo 4

Logo
W = span,x(x-2),,x-2,
ou seja, ,x(x-2),,x-2 é um conjunto de geradores de W.

Resposta

Um conjunto de geradores para W é ,x(x-2),,x-2.

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