Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:
(g) W=p(x) in P3(R) ; p(-1)+p^prime(-1)=0 e p(1)=0;

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = ,p(x)in P3(R) mid p(-1)+p'(-1)=0 e p(1)=0
ou seja, são polinômios de grau <=3 cujos coeficientes satisfazem duas condições lineares. Vamos parametrizar um polinômio genérico em P3(R) e impor essas duas condições.

Passo 2

Escrevemos o polinômio genérico
p(x)=a,x^3+b,x^2+c,x+d,
com a,b,c,dinR. Calculamos primeiro
p(-1)=(-1)^3a+(-1)^2b+(-1)c+d=-a+b-c+d
e
p'(x)=3a,x^2+2b,x+c Longrightarrow p'(-1)=3a-2b+c
A condição p(-1)+p'(-1)=0 fica
(-a+b-c+d)+(3a-2b+c)=2a-b+d=0

Passo 3

A segunda condição é
p(1)=a+b+c+d=0
Logo temos o sistema linear em a,b,c,d:
2a - b + d = 0, a + b + c + d = 0

Passo 4

Resolvendo para d e c em função de a,b:
Da primeira equação,
d = b - 2a
Substituindo em a+b+c+d=0:
a + b + c + (b-2a)=0 Longrightarrow -a + 2b + c = 0 Longrightarrow c = a - 2b

Passo 5

Agora expressamos p(x) só em termos de a e b:
p(x)=a,x^3+b,x^2+(a-2b),x+(b-2a) =al(x^3+x-2r)+bl(x^2-2x+1r)
Isso mostra que qualquer pin W é combinação linear de
;x^3+x-2; e ;x^2-2x+1.

Resposta

Um conjunto de geradores para W é
,x^3+x-2,;x^2-2x+1

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