Para as parábolas abaixo, encontre o vértice, o foco, a equação da diretriz, a equação do eixo e esboce o gráfico.
(1,5) y^2=3 x

Passo 1

O enunciado pede, para a parábola dada por
y^2 = 3x,
que encontremos o vértice, o foco, a equação da diretriz, a equação do eixo e um esboço do gráfico.
O conteúdo aqui é conicidade – forma padrão da parábola na orientação horizontal, que é
y^2 = 4p,x,
onde p é a distância do vértice ao foco.

Passo 2

Colocamos a equação na forma y^2=4p,x. Comparando
y^2=3x
com
y^2=4p,x,
vemos que
4p = 3 Longrightarrow p = 34

Passo 3

– Vértice: na forma canônica a parábola está centrada na origem, logo
vértice = (0,0) é
– Foco: fica a uma distância p do vértice, ao longo do eixo de simetria horizontal, assim
foco = l(p,0r) = l(tfrac34,0r)
– Diretriz: é a reta vertical simétrica ao foco em relação ao vértice, dada por
x = -p Longrightarrow x = -tfrac34
– Eixo da parábola: é a reta que passa pelo vértice e pelo foco; como abre para a direita, é o eixo x, ou seja
eixo: y=0

Passo 4

Esboço do gráfico:
– Desenhe um sistema de eixos e .
– Marque o vértice em .
– Marque o foco em .
– Trace a diretriz como reta vertical em .
– A parábola abre para a direita, passando pelo vértice, ficando “mais larga” conforme cresce.
y
\uparrow
\vert           \(\bullet\) foco \(\left(\frac{3}{4},0\right)\)
\vert          /
\vert         /
\vert        /
\vert-------\(\bullet\)--------\(\to\) x
\vert      \(0,0\) vértice
\vert      |
\vert      |       diretriz: \(x = -\frac{3}{4}\)
\vert      |

Resposta

vértice (0,0)
foco l(tfrac34,0r)
diretriz x=-tfrac34
eixo y=0
gráfico conforme esboçado acima.

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