O plano x y ao interceptar a esfera de equação x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+2 y+2 z-1=0, determina uma circunferência de raio r=\sqrt{2} e centro (1,-1,0).
Escolha uma opção:
  • Falso
  • Verdadeiro

Passo 1

O enunciado diz que a interseção da esfera de equação
x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+2y+2z-1=0
com o plano z=0 (plano xy) forma uma circunferência. Queremos achar o centro e o raio dessa circunferência.

Passo 2

Complete o quadrado para identificar centro e raio da esfera. Escrevemos
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1,\quad y^{2}+2y = (y+1)^{2}-1,\quad z^{2}+2z = (z+1)^{2}-1.
Substituindo:
(x-1)^{2}-1 + (y+1)^{2}-1 + (z+1)^{2}-1 -1 = 0 \;\Longrightarrow\; (x-1)^{2} + (y+1)^{2} + (z+1)^{2} = 4.
Logo, o centro da esfera é C=(1,-1,-1) e seu raio é R=2.

Passo 3

A interseção com o plano z=0 é uma circunferência de centro dado pela projeção de C em z=0, ou seja
C'=(1,-1,0).
O raio r dessa circunferência satisfaz
r = \sqrt{R^{2} - d^{2}},
onde d é a distância de C ao plano z=0. Como C tem coordenada z=-1, temos d=|{-1}|=1.

Passo 4

Calculamos
r = \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}.
Portanto o raio é \sqrt{3}, não \sqrt{2}.

Resposta

Falso

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