Verifique se o conjunto
abaixo é subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso seja, determine: um conjunto gerador de
, uma base e a dimensão de
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é subespaço de
. Se for, precisamos encontrar um conjunto gerador de
, uma base e a dimensão de
. O conteúdo aqui é caracterizar subespaços via equações e depois identificar o espaço nulo.
Passo 2
Para qualquer
, temos
e
. Assim, a soma
só ocorre se e somente se
Logo
ou seja, é exatamente o subespaço trivial contendo só o vetor zero.
Passo 3
Um conjunto contendo apenas o vetor zero sempre é subespaço, pois:
- Contém o zero.
- Fechado sob soma:
. - Fechado sob multiplicação escalar: para todo
, .
Portantoé subespaço vetorial de .
Passo 4
Como
é o subespaço zero, sabemos que
- O menor conjunto gerador é o conjunto vazio, pois
. - A única base possível (mínima e linearmente independente) é também o conjunto vazio.
- A dimensão do espaço zero é
Resposta
Um conjunto gerador de
Uma base de