Verifique se o conjunto \mathbf{S} abaixo é subespaço vetorial do espaço vetorial V. Caso seja, determine: um conjunto gerador de S, uma base e a dimensão de S.
S=\{(a b) ; a^{2}+b^{2}=0\} \quad V=M_{1 \times 2}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
S=\bigl\{(a\;b)\in M_{1\times2}(\mathbb{R})\mid a^{2}+b^{2}=0\bigr\}
é subespaço de V=M_{1\times2}(\mathbb{R}). Se for, precisamos encontrar um conjunto gerador de S, uma base e a dimensão de S. O conteúdo aqui é caracterizar subespaços via equações e depois identificar o espaço nulo.

Passo 2

Para qualquer a,b\in\mathbb{R}, temos a^{2}\ge0 e b^{2}\ge0. Assim, a soma a^{2}+b^{2}=0 só ocorre se e somente se
a=0 \quad\text{e}\quad b=0.
Logo
S=\{(0\;0)\},
ou seja, é exatamente o subespaço trivial contendo só o vetor zero.

Passo 3

Um conjunto contendo apenas o vetor zero sempre é subespaço, pois:
  1. Contém o zero.
  2. Fechado sob soma: (0\;0)+(0\;0)=(0\;0).
  3. Fechado sob multiplicação escalar: para todo \lambda\in\mathbb{R}, \lambda\,(0\;0)=(0\;0).
    Portanto S é subespaço vetorial de V.

Passo 4

Como S=\{0\} é o subespaço zero, sabemos que
  • O menor conjunto gerador é o conjunto vazio, pois \mathrm{span}(\emptyset)=\{0\}.
  • A única base possível (mínima e linearmente independente) é também o conjunto vazio.
  • A dimensão do espaço zero é
\dim(S)=0.

Resposta

S é subespaço vetorial de V.
Um conjunto gerador de S é \emptyset.
Uma base de S é \emptyset. \dim(S)=0.

Exercícios relacionados