Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços vetoriais.
W1=(x, y, z) in R^3 ; x+z=0 e x-2 y=0 subespaço de R^3.

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores para o subespaço
W1=(x,y,z)inR^3mid x+z=0 e x-2y=0
Vamos usar métodos de álgebra linear para resolver o sistema homogêneo dado pelas duas equações e expressar os vetores de W1 em função de parâmetros.

Passo 2

Das condições do subespaço temos as duas equações lineares:
x - 2y = 0, x + z = 0
Da primeira equação segue
x = 2y
Substituindo na segunda,
2y + z = 0 Longrightarrow z = -2y

Passo 3

Logo, um vetor genérico em W1 pode ser escrito como
(x,y,z) = (2y,;y,;-2y) = y,(2,1,-2),
onde yinR é o parâmetro livre.

Passo 4

Isso mostra que todo vetor de W1 é múltiplo do vetor (2,1,-2). Portanto, uma base (e conjunto de geradores) de W1 é formada por esse único vetor.

Resposta

(2,1,-2)

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