Sabendo que o conjunto das soluções de um sistema de equações lineares homogêneas é um subespaço vetorial de Mn times 1(R), verifique, em cada item a seguir, se W é subespaço vetorial de V.
V=P2(R) e W=x t^2+y t+z in V ; x-z=0.

Passo 1

O enunciado diz que temos o espaço vetorial
V = P2(R), ou seja, o conjunto de todos os polinômios de grau até 2 com coeficientes reais, e o subconjunto
W = ,x t^2 + y t + z in V mid x - z = 0
Para verificar se W é subespaço de V, vamos usar a definição:
  1. 0in W.
  2. Se p,qin W então p+qin W.
  3. Se pin W e lambdainR então lambda pin W.

Passo 2

Verificamos se o polinômio nulo está em W. O polinômio nulo é
0cdot t^2 + 0cdot t + 0,
para o qual x=0 e z=0, e portanto x - z = 0 - 0 = 0. Logo, 0in W.

Passo 3

Fechamento sob adição. Suponha
p(t)=x1 t^2 + y1 t + z1, q(t)=x2 t^2 + y2 t + z2
com x1 - z1 = 0 e x2 - z2 = 0. Então
p(t)+q(t)=(x1+x2)t^2 + (y1+y2)t + (z1+z2)
O coeficiente do t^2 menos o termo constante é
(x1+x2) - (z1+z2) = (x1 - z1) + (x2 - z2) = 0 + 0 = 0,
então p+qin W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja lambdainR e
p(t)=x t^2 + y t + zin W,
com x - z = 0. Então
lambda p(t)= (lambda x)t^2 + (lambda y)t + (lambda z),
e
(lambda x) - (lambda z) = lambda,(x - z) = lambdacdot 0 = 0,
logo lambda pin W.

Resposta

W é subespaço vetorial de V.

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