Sabendo que o conjunto das soluções de um sistema de equações lineares homogêneas é um subespaço vetorial de Mn times 1(R), verifique, em cada item a seguir, se W é subespaço vetorial de V.
V=P3(R) e W=x t^3+y t^2+z t+w in V ; x-y-z=0.

Passo 1

O enunciado define V = P3(R), o espaço dos polinômios de grau <=3, e
W = ,x t^3 + y t^2 + z t + w in V mid x - y - z = 0
Queremos verificar se W é subespaço de V. Para isso, vamos usar o critério de subespaço:
1. Wneqemptyset.
2. Se p,qin W então p+qin W.
3. Se pin W e lambdainR então lambda pin W.

Passo 2

Verificamos que o polinômio nulo 0cdot t^3 + 0cdot t^2 + 0cdot t + 0 está em W, pois suas coeficientes (x,y,z,w)=(0,0,0,0) satisfazem
x - y - z = 0 - 0 - 0 = 0
Logo, W não é vazio.

Passo 3

Sejam p(t)=x1t^3+y1t^2+z1t+w1 e q(t)=x2t^3+y2t^2+z2t+w2 em W. Então
x1 - y1 - z1 = 0 e x2 - y2 - z2 = 0
No polinômio soma p+q os coeficientes ficam (x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,;w1+w2). Verificamos:
(x1+x2) - (y1+y2) - (z1+z2) = (x1 - y1 - z1) + (x2 - y2 - z2) = 0 + 0 = 0,
logo p+qin W.

Passo 4

Seja p(t)=xt^3+yt^2+zt+win W e lambdainR. No polinômio lambda p os coeficientes são (lambda x,;lambda y,;lambda z,;lambda w). Então
lambda x - lambda y - lambda z = lambda,(x - y - z) = lambdacdot 0 = 0,
logo lambda pin W.

Resposta

W é subespaço vetorial de V.

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