Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços vetoriais.
W3=(lla & b c & d) in M2(R) ; a+c=0 e d=0 subespaço de M2(R).

Passo 1

O enunciado define o subespaço W3subset M2(R) formado pelas matrizes
a & b c & d
que satisfazem as condições a+c=0 e d=0. Precisamos encontrar um conjunto de geradores para W3.

Passo 2

Usando a+c=0 temos c=-a e, por hipótese, d=0. Assim, uma matriz genérica de W3 é
a & b -a & 0,
onde a e b são parâmetros livres em R.

Passo 3

Podemos decompor essa matriz em combinação linear de duas matrizes fixas:
a & b -a & 0 = a 1 & 0 -1 & 0 + b 0 & 1 0 & 0
Logo todo elemento de W3 é gerado pelas matrizes
E1=1 & 0 -1 & 0 e E2=0 & 1 0 & 0

Resposta

Um conjunto de geradores de W3 é
1 & 0 -1 & 0, 0 & 1 0 & 0

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