Determine o conjunto de geradores para o subespaço vetorial W=(x, y, z) d e R^2 ; x+2 z=0.

Passo 1

O enunciado pede um conjunto de geradores para o subespaço
W = (x,y,z)in R^3 mid x + 2z = 0
O conteúdo aqui é caracterizar um subespaço definido por uma equação linear e encontrar uma base (ou conjunto gerador) expressando as coordenadas livres em função de parâmetros.

Passo 2

Da condição x+2z=0 segue
x = -2z
As coordenadas que não aparecem nesta equação (aqui y e z) são livres e podemos usá-las como parâmetros.

Passo 3

Vamos chamar os parâmetros de s para y e t para z. Assim um vetor genérico em W é
(x,y,z) = (-2t,,s,,t)

Passo 4

Reescrevendo em forma de combinação linear:
(-2t,s,t) = s,(0,1,0) + t,(-2,0,1)
Isso mostra que todo vetor de W é combinação linear de (0,1,0) e (-2,0,1).

Resposta

Um conjunto de geradores para W é
(0,1,0),;(-2,0,1)

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