Considere os vetores v1=(1,1,0) e v2=(0,1,1) in R^3 :
a) Verifique se o vetor v=(2,-1,-3) é uma combinação linear de v1 e v2.
b) Verifique se o vetor w=(0,2,1) é uma combinação linear de v1 e v2.
c) Que condições devem ser satisfeitas para que um vetor de coordenadas (x, y, z) in R^3 possa ser escrito como combinação linear v1 e v2 ?
d) O subespaço gerado por v1, v2.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em R^3,
v1 = (1,1,0), v2 = (0,1,1),
e pede para verificar, em (a) e (b), se outros vetores são combinações lineares de v1 e v2; em (c) determinar a condição que (x,y,z) deve satisfazer para ser combinação linear; e em (d) descrever o subespaço gerado por v1,v2. Vamos usar solução de sistemas lineares para cada item.

Passo 2

Para (a), procuramos escalares
Escrevendo coordenada a coordenada,
Da primeira equação vem . Verificamos na segunda: , está OK. Logo existe combinação linear com e .

Passo 3

Para (b), buscamos
Isso dá o sistema
Da primeira equação . Mas então a segunda daria . Logo não há solução, ou seja, não é combinação linear de e .

Passo 4

Para (c), seja um vetor arbitrário
isto é
Da primeira vem . Para a segunda ser satisfeita precisamos
Portanto a condição é

Passo 5

Para (d), o subespaço gerado por v1,v2 é exatamente o conjunto de todos os vetores (x,y,z) que satisfazem a condição da parte (c). Logo
Spanv1,v2 = l(x,y,z)inR^3mid y = x + zr,
que é um plano em R^3.

Resposta

a) Sim. Tem-se 2,v1 - 3,v2 = (2,-1,-3).
b) Não. O sistema é inconsistente.
c) É necessário e suficiente que y = x + z.
d) É o plano (x,y,z)inR^3mid y = x + z.

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