Considere os vetores e :
a) Verifique se o vetor é uma combinação linear de e .
b) Verifique se o vetor é uma combinação linear de e .
c) Que condições devem ser satisfeitas para que um vetor de coordenadas possa ser escrito como combinação linear e ?
d) O subespaço gerado por .
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em ,
e pede para verificar, em (a) e (b), se outros vetores são combinações lineares de e ; em (c) determinar a condição que deve satisfazer para ser combinação linear; e em (d) descrever o subespaço gerado por . Vamos usar solução de sistemas lineares para cada item.
Passo 2
Para (a), procuramos escalares
Escrevendo coordenada a coordenada,
Da primeira equação vem . Verificamos na segunda: , está OK. Logo existe combinação linear com e .
Passo 3
Para (b), buscamos
Isso dá o sistema
Da primeira equação . Mas então a segunda daria . Logo não há solução, ou seja, não é combinação linear de e .
Passo 4
Para (c), seja um vetor arbitrário
isto é
Da primeira vem . Para a segunda ser satisfeita precisamos
Portanto a condição é
Passo 5
Para (d), o subespaço gerado por v1,v2 é exatamente o conjunto de todos os vetores (x,y,z) que satisfazem a condição da parte (c). Logo
Spanv1,v2 = l(x,y,z)inR^3mid y = x + zr,
que é um plano em R^3.
Resposta
a) Sim. Tem-se 2,v1 - 3,v2 = (2,-1,-3).
b) Não. O sistema é inconsistente.
c) É necessário e suficiente que y = x + z.
d) É o plano (x,y,z)inR^3mid y = x + z.