Resolva as seguintes equações diferenciais
d Rd theta+R cos theta=12 sen theta

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
dRdtheta+Rcostheta=tfrac12sintheta
O conteúdo aqui é EDO linear de 1.º ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a EDO na forma padrão
dRdtheta+P(theta),R=Q(theta),
com P(theta)=costheta e Q(theta)=tfrac12sintheta. O fator integrante é
mu(theta)=expl(integral P(theta),dthetar) =expl(integralcostheta,dthetar) =expl(sinthetar)

Passo 3

Multiplicando a EDO por mu(theta) fica
e^sinthetadRdtheta+R,costheta,e^sintheta =tfrac12sintheta,e^sintheta
O lado esquerdo é a derivada do produto R,e^sintheta, logo
ddthetal(R,e^sinthetar) =tfrac12sintheta,e^sintheta

Passo 4

Integramos em theta:
R(theta),e^sintheta =tfrac12integral sintheta,e^sintheta,dtheta + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando R(theta), obtemos a solução geral
R(theta) =e^-sinthetal[tfrac12integral sintheta,e^sintheta,dtheta + Cr]

Resposta

R(theta) =e^-sinthetal[tfrac12integral sintheta,e^sintheta,dtheta + Cr]

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