Determine um conjunto de geradores do subespaço vetorial sobre
e indique a dimensão.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto dos vetores
que satisfazem a equação linear
O que a questão pede:
- Determinar um conjunto de geradores (ou seja, um conjunto de vetores cujo espaço linear gerado é exatamente esse conjunto).
- Indicar a dimensão do subespaço resultante.
Informações relevantes fornecidas:
- Temos uma única equação linear homogênea em três incógnitas.
- O conjunto descrito é um subconjunto de
definido por essa equação (portanto é um subespaço linear, pois a equação tem lado direito zero).
Passo 2
Estratégia e conceitos usados (explicados de forma didática):
- Para encontrar geradores de um subespaço definido por equações lineares, é comum parametrizar as soluções da(s) equação(ões) escolhendo algumas variáveis como livres e expressando as restantes em função delas.
- Definição prática de “geradores”: Um conjunto de vetores
gera um subespaço se todo vetor de pode ser escrito como combinação linear de . Escrevemos . - Definição de “dimensão”: a dimensão de um subespaço é o número de vetores de uma base (um conjunto gerador que é também linearmente independente).
- Como testar linear independência no caso de dois vetores em
: se implica , então são independentes.
Vou usar a parametrização porque é direta: temos uma equação e três incógnitas, então esperamos dois graus de liberdade (duas variáveis livres), o que já sugere dimensão
. Agora parametrizamos explicitamente para obter geradores concretos.
Passo 3
Parametrização das soluções:
A equação é
A equação é
É conveniente isolar
em função de
e
:
Agora escolhemos
e
como parâmetros livres. Seja
e
, com
. Então qualquer vetor solução tem a forma
Passo 4
Escrever a forma paramétrica como combinação linear:
Separe os termos envolvendo e
:
Separe os termos envolvendo
Isso mostra que todo vetor que satisfaz a equação pode ser escrito como combinação linear dos vetores
e
. Assim,
Passo 5
Mostrar a outra inclusão (os vetores candidatos realmente pertencem ao subespaço):
Tomemos uma combinação arbitrária
Tomemos uma combinação arbitrária
Esse vetor satisfaz claramente
logo pertence ao conjunto definido pela equação. Portanto
Com as duas inclusões, temos igualdade dos conjuntos.
Passo 6
Verificar que os geradores são linearmente independentes:
Suponha que existam escalares tais que
Suponha que existam escalares
Isso dá o sistema de equações ( componente a componente )
Das duas primeiras equações já vem
e
. Portanto os vetores são linearmente independentes.
Passo 7
Conclusão sobre base e dimensão:
Como e
geram o subespaço e são linearmente independentes, eles formam uma base do subespaço. Assim a dimensão do subespaço é o número de vetores dessa base, ou seja,
.
Como