Determine um conjunto de geradores do subespaço vetorial sobre \mathbb{R} e indique a dimensão.
\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}, 2 x+4 y-z=0\right\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto dos vetores (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 que satisfazem a equação linear
2x+4y-z=0.
O que a questão pede:
  • Determinar um conjunto de geradores (ou seja, um conjunto de vetores cujo espaço linear gerado é exatamente esse conjunto).
  • Indicar a dimensão do subespaço resultante.
Informações relevantes fornecidas:
  • Temos uma única equação linear homogênea em três incógnitas.
  • O conjunto descrito é um subconjunto de \mathbb{R}^3 definido por essa equação (portanto é um subespaço linear, pois a equação tem lado direito zero).

Passo 2

Estratégia e conceitos usados (explicados de forma didática):
  • Para encontrar geradores de um subespaço definido por equações lineares, é comum parametrizar as soluções da(s) equação(ões) escolhendo algumas variáveis como livres e expressando as restantes em função delas.
  • Definição prática de “geradores”: Um conjunto de vetores S=\{v_1,\dots,v_k\} gera um subespaço V se todo vetor de V pode ser escrito como combinação linear de v_1,\dots,v_k. Escrevemos V=\text{span}\{v_1,\dots,v_k\}.
  • Definição de “dimensão”: a dimensão de um subespaço é o número de vetores de uma base (um conjunto gerador que é também linearmente independente).
  • Como testar linear independência no caso de dois vetores em \mathbb{R}^3: se \alpha v_1+\beta v_2=0 implica \alpha=\beta=0, então são independentes.
Vou usar a parametrização porque é direta: temos uma equação e três incógnitas, então esperamos dois graus de liberdade (duas variáveis livres), o que já sugere dimensão 2. Agora parametrizamos explicitamente para obter geradores concretos.

Passo 3

Parametrização das soluções:
A equação é
2x+4y-z=0.
É conveniente isolar z em função de x e y:
z = 2x+4y.
Agora escolhemos x e y como parâmetros livres. Seja x=s e y=t, com s,t\in\mathbb{R}. Então qualquer vetor solução tem a forma
(x,y,z) = (s,t,2s+4t).

Passo 4

Escrever a forma paramétrica como combinação linear:
Separe os termos envolvendo s e t:
(s,t,2s+4t) = s(1,0,2) + t(0,1,4).
Isso mostra que todo vetor que satisfaz a equação pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1,0,2) e (0,1,4). Assim,
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : 2x+4y-z=0\} \subseteq \text{span}\{(1,0,2),(0,1,4)\}.

Passo 5

Mostrar a outra inclusão (os vetores candidatos realmente pertencem ao subespaço):
Tomemos uma combinação arbitrária
\alpha(1,0,2)+\beta(0,1,4) = (\alpha,\beta,2\alpha+4\beta).
Esse vetor satisfaz claramente
2\cdot\alpha + 4\cdot\beta - (2\alpha+4\beta)=0,
logo pertence ao conjunto definido pela equação. Portanto
\text{span}\{(1,0,2),(0,1,4)\} \subseteq \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : 2x+4y-z=0\}.
Com as duas inclusões, temos igualdade dos conjuntos.

Passo 6

Verificar que os geradores são linearmente independentes:
Suponha que existam escalares \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha(1,0,2)+\beta(0,1,4) = (0,0,0).
Isso dá o sistema de equações ( componente a componente )
\alpha = 0,
\beta = 0,
2\alpha + 4\beta = 0.
Das duas primeiras equações já vem \alpha=0 e \beta=0. Portanto os vetores são linearmente independentes.

Passo 7

Conclusão sobre base e dimensão:
Como (1,0,2) e (0,1,4) geram o subespaço e são linearmente independentes, eles formam uma base do subespaço. Assim a dimensão do subespaço é o número de vetores dessa base, ou seja, 2.

Resposta

\text{Um conjunto de geradores: }\{(1,0,2),(0,1,4)\}
\dim = 2

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