Determine um conjunto de geradores do subespaço vetorial sobre \mathbb{R} e indique a dimensão. \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}, y=x\right\}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar um conjunto de geradores do subespaço e indicar a dimensão desse subespaço. As informações dadas são:
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid y=x\},
ou seja, todos os vetores de \mathbb{R}^3 cujas segunda componente é igual à primeira. Não há outras restrições além disso.
Passo 2
Vamos escrever genericamente um vetor do subespaço usando as informações do enunciado. Como y=x, qualquer vetor do subespaço tem a forma
(x,y,z)=(x,x,z).
Aqui x e z são números reais que podem variar livremente. Em palavras: o subespaço é o conjunto de todos os pares (x,z) convertidos no vetor (x,x,z).
Passo 3
A ideia de “conjunto de geradores” (span) é representar um vetor genérico do subespaço como combinação linear de alguns vetores fixos. Vamos tentar escrever (x,x,z) como combinação linear óbvia usando os parâmetros x e z. Observe que
(x,x,z)=x(1,1,0)+z(0,0,1).
Explicando: multiplicamos o escalar x pelo vetor (1,1,0) e somamos o escalar z vezes o vetor (0,0,1); as componentes resultantes são (x,x,0)+(0,0,z)=(x,x,z).
Passo 4
A fórmula do passo anterior mostra que qualquer vetor (x,x,z) do subespaço é combinação linear dos vetores (1,1,0) e (0,0,1). Portanto esses dois vetores geram o subespaço, isto é,
Isso prova que \{(1,1,0),(0,0,1)\} é um conjunto de geradores.
Passo 5
Agora precisamos da dimensão. Se os dois vetores geradores são linearmente independentes, então eles formam uma base e a dimensão é 2\). Vamos verificar independência linear. Suponha que existam escalares \(a,b\in\mathbb{R}\) tais que
\[a(1,1,0)+b(0,0,1)=(0,0,0).
Escrevendo componente a componente obtemos o sistema
As duas primeiras equações vêm das primeiras e segundas componentes; ambas dão a=0\]. A terceira dá \(b=0. Logo a=b=0 é a única combinação linear que produz o vetor zero, isto é, os vetores são linearmente independentes.]
Passo 6
Tendo mostrado que \{(1,1,0),(0,0,1)\} gera o subespaço e que seus vetores são linearmente independentes, concluímos que esse conjunto é uma base do subespaço. Assim a dimensão do subespaço é o número de vetores da base, ou seja, 2.