A pergunta a responder é: “essas três colunas geram \mathbb{R}^{3}?”
Passo 2
O que significa "gerar \mathbb{R}^{3}" e como vamos testar isso (aula rápida e escolha do método).\n
Definição: um conjunto de vetores gera \mathbb{R}^{3} se quaisquer vetores em \mathbb{R}^{3} podem ser escritos como combinação linear desses vetores. Em termos práticos, três vetores em \mathbb{R}^{3} geram \mathbb{R}^{3} exatamente quando são linearmente independentes (ou seja, sua combinação linear nula só tem a solução trivial).\n
Critério prático: para três vetores em \mathbb{R}^{3} podemos formar a matriz A cuja 1.ª, 2.ª e 3.ª colunas são \vec{v},\vec{u},\vec{w}. Se \det(A)\neq 0, a matriz é invertível e as colunas formam uma base de \mathbb{R}^{3}, então geram \mathbb{R}^{3}. Se \det(A)=0, são linearmente dependentes e não geram \mathbb{R}^{3}.\n
Por que escolhi esse método: calcular o determinante de uma matriz 3\times3 é direto e rápido à mão; é um teste definitivo (sim/não) para o caso de três vetores em \mathbb{R}^{3}.
Passo 3
Montamos a matriz A com as colunas sendo os vetores dados:
Interpretação do resultado e construção explícita de uma relação de dependência (para entender bem na prova).\n
Como \det(A)=0\), as colunas são linearmente dependentes: não são independentes, logo não geram \(\mathbb{R}^{3}\).\n
- Para ver explicitamente a dependência, procuramos escalares \(\alpha,\beta,\gamma\), não todos zero, tais que
\[\alpha\vec{v}+\beta\vec{u}+\gamma\vec{w}=\vec{0}.
Conclusão extra: \vec{w} é combinação linear de \vec{v} e \vec{u}, então \mathrm{span}\{\vec{v},\vec{u},\vec{w}\}=\mathrm{span}\{\vec{v},\vec{u}\}, que é no máximo um plano (dimensão \le 2). Portanto não alcança todo \mathbb{R}^{3}.]
Resposta
Não — os vetores não geram \mathbb{R}^{3}.
Relação de dependência: \vec{w}=2\vec{v}+\vec{u}.