Verifique se os vetores geram o espaço vetorial \mathbb{R}^{3}
\vec{v}=(2,-1,1), \vec{u}=(1,4,-1) e \vec{w}=(5,2,1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores dados geram o espaço vetorial \mathbb{R}^{3}.\n
Dados fornecidos:
\vec{v}=(2,-1,1),\quad \vec{u}=(1,4,-1),\quad \vec{w}=(5,2,1).
A pergunta a responder é: “essas três colunas geram \mathbb{R}^{3}?”

Passo 2

O que significa "gerar \mathbb{R}^{3}" e como vamos testar isso (aula rápida e escolha do método).\n
  • Definição: um conjunto de vetores gera \mathbb{R}^{3} se quaisquer vetores em \mathbb{R}^{3} podem ser escritos como combinação linear desses vetores. Em termos práticos, três vetores em \mathbb{R}^{3} geram \mathbb{R}^{3} exatamente quando são linearmente independentes (ou seja, sua combinação linear nula só tem a solução trivial).\n
  • Critério prático: para três vetores em \mathbb{R}^{3} podemos formar a matriz A cuja 1.ª, 2.ª e 3.ª colunas são \vec{v},\vec{u},\vec{w}. Se \det(A)\neq 0, a matriz é invertível e as colunas formam uma base de \mathbb{R}^{3}, então geram \mathbb{R}^{3}. Se \det(A)=0, são linearmente dependentes e não geram \mathbb{R}^{3}.\n
  • Por que escolhi esse método: calcular o determinante de uma matriz 3\times3 é direto e rápido à mão; é um teste definitivo (sim/não) para o caso de três vetores em \mathbb{R}^{3}.

Passo 3

Montamos a matriz A com as colunas sendo os vetores dados:
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 5\\[4pt] -1 & 4 & 2\\[4pt] 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Agora calculamos \det(A) expandindo pela primeira linha (fórmula de Laplace para 3\times3):
\det(A)=2\cdot\det\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} +5\cdot\det\begin{pmatrix}-1 & 4\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
Calculamos cada menor 2\times2:
\det\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix}=4\cdot1-2\cdot(-1)=4+2=6,
\det\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=(-1)\cdot1-2\cdot1=-1-2=-3,
\det\begin{pmatrix}-1 & 4\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}=(-1)\cdot(-1)-4\cdot1=1-4=-3.
Substituindo:
\det(A)=2\cdot 6 - 1\cdot(-3) + 5\cdot(-3)=12 + 3 -15=0.]

Passo 4

Interpretação do resultado e construção explícita de uma relação de dependência (para entender bem na prova).\n
  • Como \det(A)=0\), as colunas são linearmente dependentes: não são independentes, logo não geram \(\mathbb{R}^{3}\).\n - Para ver explicitamente a dependência, procuramos escalares \(\alpha,\beta,\gamma\), não todos zero, tais que \[\alpha\vec{v}+\beta\vec{u}+\gamma\vec{w}=\vec{0}.
Isso dá o sistema:
\begin{cases} 2\alpha+\beta+5\gamma=0,\\[4pt] -\alpha+4\beta+2\gamma=0,\\[4pt] \alpha-\beta+\gamma=0. \end{cases}
Da terceira equação \alpha=\beta-\gamma\]. Substituindo nas outras: \[2(\beta-\gamma)+\beta+5\gamma=0\implies 3\beta+3\gamma=0\implies \beta=-\gamma.\] Com \(\beta=-\gamma vem \alpha=\beta-\gamma=-\gamma-\gamma=-2\gamma. Tomando \gamma=1 (qualquer múltiplo não trivial serve) obtemos
\alpha=-2,\quad \beta=-1,\quad \gamma=1,
ou seja
-2\vec{v}-\vec{u}+\vec{w}=\vec{0}\quad\Longrightarrow\quad \vec{w}=2\vec{v}+\vec{u}.
  • Conclusão extra: \vec{w} é combinação linear de \vec{v} e \vec{u}, então \mathrm{span}\{\vec{v},\vec{u},\vec{w}\}=\mathrm{span}\{\vec{v},\vec{u}\}, que é no máximo um plano (dimensão \le 2). Portanto não alcança todo \mathbb{R}^{3}.]

Resposta

Não — os vetores não geram \mathbb{R}^{3}.
Relação de dependência: \vec{w}=2\vec{v}+\vec{u}.

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