Determine um conjunto de geradores do subespaço vetorial sobre \mathbb{R} e indique a dimensão. \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}, z=2 x+y\right\}
Passo 1
O enunciado nos dá o subconjunto de \mathbb{R}^3
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=2x+y\}.
O que é pedido:
Determinar um conjunto de geradores (ou seja, vetores que permitam escrever qualquer vetor do subespaço como combinação linear deles).
Indicar a dimensão desse subespaço.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
A coordenada z é dada por uma expressão linear em x e y: z=2x+y.
Os parâmetros livres parecem ser x e y (dois graus de liberdade).
Como a relação é homogênea (sem termo constante), o conjunto contém o vetor nulo (0,0,0) — isso indica que pode ser um subespaço linear.
Passo 2
Vamos parametrizar genericamente um vetor (x,y,z) que pertence ao conjunto usando as variáveis livres x e y. A condição é z=2x+y. Portanto podemos escrever o vetor como
(x,y,z) = (x,y,2x+y).
Aqui x e y são quaisquer números reais. A ideia é escrever esse vetor como combinação linear de vetores fixos multiplicados por x e y.
Passo 3
Separe os termos em função de x e y. Reescrevendo componente a componente:
(x,y,2x+y) = x\,(1,0,2) + y\,(0,1,1).
Explicando: multiplicando x pelo vetor (1,0,2) obtemos (x,0,2x) e multiplicando y por (0,1,1) obtemos (0,y,y); somando dá (x,y,2x+y). Esta é uma decomposição válida para qualquer x,y\in\mathbb{R}.
Passo 4
Da decomposição do passo anterior segue que todo vetor do subespaço pode ser escrito como combinação linear dos vetores (1,0,2) e (0,1,1). Portanto o conjunto
\{(1,0,2),\,(0,1,1)\}
gera o subespaço. Em outras palavras, é um conjunto de geradores.
Passo 5
Para saber a dimensão precisamos verificar se esses geradores são linearmente independentes. Considere a combinação linear nula:
a\,(1,0,2) + b\,(0,1,1) = (0,0,0).
Escrevendo por componentes obtemos o sistema
\begin{cases} a = 0,\\[4pt] b = 0,\\[4pt] 2a + b = 0. \end{cases}
Das duas primeiras equações já vem a=0 e b=0, que satisfazem a terceira. Como a única solução é a=b=0, os vetores são linearmente independentes.]
Passo 6
Conclusão: os dois vetores (1,0,2) e (0,1,1) formam um conjunto gerador linearmente independente — isto é, uma base do subespaço. Uma base com dois vetores implica que a dimensão do subespaço é 2.
Passo 7
Dica prática para a prova (curta e amiga): ao ver uma equação linear do tipo z=\alpha x+\beta y em \mathbb{R}^3, sempre tente parametrizar pelos valores livres x,y e separar por essas variáveis para obter dois vetores geradores. Depois checar independência é só ver se uma combinação linear nula força os coeficientes a serem zero (geralmente dá um sistema simples por componentes).