Determine um conjunto de geradores do subespaço vetorial sobre \mathbb{R} e indique a dimensão.
\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}, y=5 x\right\}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) encontrar um conjunto de geradores do subconjunto S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid y=5x\} e (ii) indicar a dimensão de S.
Informações dadas: todo vetor de S tem coordenadas (x,y,z) com a restrição \;y=5x. Não há mais condições.

Passo 2

Vamos parametrizar genericamente um vetor de S. Seja x um parâmetro que eu chamo de a e seja z outro parâmetro que eu chamo de b. Então um vetor genérico de S é
(a,\,5a,\,b),
onde a,b\in\mathbb{R}.

Passo 3

Reescrevo o vetor (a,5a,b) como combinação linear dos vetores padrões:
(a,\,5a,\,b)=a\,(1,\,5,\,0)+b\,(0,\,0,\,1).
Isto mostra que qualquer vetor de S é uma combinação linear de (1,5,0) e (0,0,1). Logo
S\subseteq \operatorname{span}\{(1,5,0),(0,0,1)\}.

Passo 4

Agora mostro a inclusão inversa: qualquer combinação linear de (1,5,0) e (0,0,1) tem a forma
\alpha\,(1,5,0)+\beta\,(0,0,1)=(\alpha,\,5\alpha,\,\beta),
que claramente satisfaz a restrição segunda coordenada igual a 5 vezes a primeira. Portanto toda combinação linear está em S, isto é,
\operatorname{span}\{(1,5,0),(0,0,1)\}\subseteq S.
Com as duas inclusões concluímos que
S=\operatorname{span}\{(1,5,0),(0,0,1)\},
ou seja, \{(1,5,0),(0,0,1)\} é um conjunto de geradores de S.

Passo 5

Para verificar se esse conjunto de geradores é também uma base, preciso checar se os vetores são linearmente independentes. Suponha que existam \alpha,\beta\in\mathbb{R}\) tais que \[\alpha\,(1,5,0)+\beta\,(0,0,1)=(0,0,0).
Isso dá, coordenada a coordenada,
\begin{cases} \alpha=0,\\[4pt] 5\alpha=0,\\[4pt] \beta=0. \end{cases}
Da primeira equação vem \alpha=0\] e da terceira \(\beta=0. Assim a única combinação linear que dá o vetor nulo é a trivial, portanto os dois vetores são linearmente independentes.]

Passo 6

Como \{(1,5,0),(0,0,1)\} gera S e é linearmente independente, é uma base de S. O número de vetores da base é a dimensão do subespaço. Logo a dimensão de S é 2.

Resposta

Um conjunto de geradores: \{(1,5,0),(0,0,1)\}
Dimensão: 2

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