Determine um conjunto de geradores do subespaço vetorial sobre \mathbb{R} e indique a dimensão. \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}, y=5 x\right\}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) encontrar um conjunto de geradores do subconjunto S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid y=5x\} e (ii) indicar a dimensão de S.
Informações dadas: todo vetor de S tem coordenadas (x,y,z) com a restrição \;y=5x. Não há mais condições.
Passo 2
Vamos parametrizar genericamente um vetor de S. Seja x um parâmetro que eu chamo de a e seja z outro parâmetro que eu chamo de b. Então um vetor genérico de S é
(a,\,5a,\,b),
onde a,b\in\mathbb{R}.
Passo 3
Reescrevo o vetor (a,5a,b) como combinação linear dos vetores padrões:
(a,\,5a,\,b)=a\,(1,\,5,\,0)+b\,(0,\,0,\,1).
Isto mostra que qualquer vetor de S é uma combinação linear de (1,5,0) e (0,0,1). Logo
que claramente satisfaz a restrição segunda coordenada igual a 5 vezes a primeira. Portanto toda combinação linear está em S, isto é,
\operatorname{span}\{(1,5,0),(0,0,1)\}\subseteq S.
Com as duas inclusões concluímos que
S=\operatorname{span}\{(1,5,0),(0,0,1)\},
ou seja, \{(1,5,0),(0,0,1)\} é um conjunto de geradores de S.
Passo 5
Para verificar se esse conjunto de geradores é também uma base, preciso checar se os vetores são linearmente independentes. Suponha que existam \alpha,\beta\in\mathbb{R}\) tais que
\[\alpha\,(1,5,0)+\beta\,(0,0,1)=(0,0,0).
Da primeira equação vem \alpha=0\] e da terceira \(\beta=0. Assim a única combinação linear que dá o vetor nulo é a trivial, portanto os dois vetores são linearmente independentes.]
Passo 6
Como \{(1,5,0),(0,0,1)\} gera S e é linearmente independente, é uma base de S. O número de vetores da base é a dimensão do subespaço. Logo a dimensão de S é 2.
Resposta
Um conjunto de geradores: \{(1,5,0),(0,0,1)\}
Dimensão: 2