Determine o conjunto imagem da equação do segundo grau cujo vértice é
e que passa pelo ponto
.
Passo 1
O enunciado diz que a parábola tem vértice em (1, 1) e passa pelo ponto (2, 0). O conteúdo aqui é função quadrática em forma canônica e determinação de intervalo imagem, e vamos usar a forma canônica
Passo 2
Na forma canônica, qualquer função quadrática pode ser escrita como
onde (h,k) é o vértice. Como o vértice dado é (1,1), temos
Passo 3
Para encontrar a constante a, usamos o ponto (2,0). Substituindo x=2 e f(x)=0 em
:
Logo,
Passo 4
Substituindo a=−1 na forma canônica, obtemos
Como o coeficiente de
é negativo, a parábola é côncava para baixo e seu vértice (1,1) é ponto de valor máximo f(x)=1. Portanto, f(x) assume todos os valores menores ou iguais a 1.
Resposta
O conjunto-imagem é
.