Determine o conjunto imagem da equação do segundo grau cujo vértice é (1,1) e que passa pelo ponto (2,0).

Passo 1

O enunciado diz que a parábola tem vértice em (1, 1) e passa pelo ponto (2, 0). O conteúdo aqui é função quadrática em forma canônica e determinação de intervalo imagem, e vamos usar a forma canônica

Passo 2

Na forma canônica, qualquer função quadrática pode ser escrita como
f(x)=a(x-h)^2+k
onde (h,k) é o vértice. Como o vértice dado é (1,1), temos
f(x)=a(x-1)^2+1

Passo 3

Para encontrar a constante a, usamos o ponto (2,0). Substituindo x=2 e f(x)=0 em f(x)=a(x-1)^2+1:
0=a(2-1)^2+1
Logo,
a,cdot1^2+1=0implies a=-1

Passo 4

Substituindo a=−1 na forma canônica, obtemos
f(x)=-(x-1)^2+1
Como o coeficiente de (x-1)^2 é negativo, a parábola é côncava para baixo e seu vértice (1,1) é ponto de valor máximo f(x)=1. Portanto, f(x) assume todos os valores menores ou iguais a 1.

Resposta

O conjunto-imagem é (-infty,1].

Exercícios relacionados