Encontre a transformada de Laplace inversa da função
F(s)=2 ss^2-s-6

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a transformada de Laplace inversa da função $ F(s) = \frac{2s}{s^{2} - s -6} $. Para resolver isso, precisamos conhecer um pouco sobre transformadas de Laplace, fatoração de polinômios e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador $ s^{2} - s -6 $. Precisamos encontrar dois números que, multiplicados, dão -6 e, somados, dão -1. Esses números são 2 e -3, porque:
s^2 - s -6
Então, podemos escrever:
2 times (-3) = -6 e 2 + (-3) = -1

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração $ \frac{2s}{(s - 3)(s + 2)} $ em frações parciais. Isso significa escrever a expressão como a soma de duas frações simples:
2s(s - 3)(s + 2)
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar os valores de $ A $ e $ B $, multiplicamos ambos os lados da equação por $ (s - 3)(s + 2) $ para eliminar os denominadores:
A
Agora, escolhemos valores de $ s $ que simplificam a equação:
  • Quando $ s = 3 $:
B
  • Quando $ s = -2 $:
(s - 3)(s + 2)

Passo 5

Agora que temos $ A = \frac{6}{5} $ e $ B = \frac{4}{5} $, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
A = 65

Passo 6

Para encontrar a transformada de Laplace inversa, lembramos que:
L^-1 1s - a = e^at
Aplicando isso a cada termo:
L^-1 65s - 3 = 65 e^3t
L^-1 45s + 2 = 45 e^-2t

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace inversa de $ F(s) $ é:
F(s)

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