Encontre a transformada de Laplace inversa da função
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a transformada de Laplace inversa da função $ F(s) = \frac{2s}{s^{2} - s -6} $. Para resolver isso, precisamos conhecer um pouco sobre transformadas de Laplace, fatoração de polinômios e decomposição em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador $ s^{2} - s -6 $. Precisamos encontrar dois números que, multiplicados, dão -6 e, somados, dão -1. Esses números são 2 e -3, porque:
Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração $ \frac{2s}{(s - 3)(s + 2)} $ em frações parciais. Isso significa escrever a expressão como a soma de duas frações simples:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar os valores de $ A $ e $ B $, multiplicamos ambos os lados da equação por $ (s - 3)(s + 2) $ para eliminar os denominadores:
Agora, escolhemos valores de $ s $ que simplificam a equação:
- Quando $ s = 3 $:
- Quando $ s = -2 $:
Passo 5
Agora que temos $ A = \frac{6}{5} $ e $ B = \frac{4}{5} $, substituímos de volta na decomposição das frações parciais:
Passo 6
Para encontrar a transformada de Laplace inversa, lembramos que:
Aplicando isso a cada termo:
Resposta
Portanto, a transformada de Laplace inversa de $ F(s) $ é: