(2,0 pontos) Dados os vetores \vec{u}=(1,0,1) e \vec{v}=(-2,1,2), determinar proj \vec{v} \vec{u} e proj _{\vec{u}^{\bar{v}}}.
Obs.: as questões de múltiplas escolhas só serão consideradas com os respectivos cálculos.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec u=(1,0,1) e \vec v=(-2,1,2)
e pede as projeções de \vec u sobre \vec v e de \vec v sobre \vec u.
O conteúdo envolve produto escalar em \mathbb R^3 e fórmula de projeção vetorial.

Passo 2

A projeção de um vetor \vec a sobre um vetor \vec b é dada por
\mathrm{proj}_{\vec b}\vec a \;=\;\frac{\vec a\cdot\vec b}{\vec b\cdot\vec b}\,\vec b.

Passo 3

Calcular os produtos escalares necessários:
\vec u\cdot\vec v = (1)(-2)+(0)(1)+(1)(2) = -2+0+2 = 0,
\vec v\cdot\vec v = (-2)^2+1^2+2^2 = 4+1+4 = 9,
\vec u\cdot\vec u = 1^2+0^2+1^2 = 1+0+1 = 2.

Passo 4

Aplicando a fórmula para \mathrm{proj}_{\vec v}\vec u:
\mathrm{proj}_{\vec v}\vec u =\frac{\vec u\cdot\vec v}{\vec v\cdot\vec v}\,\vec v =\frac{0}{9}\,\vec v =(0,0,0).

Passo 5

Aplicando a fórmula para \mathrm{proj}_{\vec u}\vec v:
\mathrm{proj}_{\vec u}\vec v =\frac{\vec v\cdot\vec u}{\vec u\cdot\vec u}\,\vec u =\frac{0}{2}\,\vec u =(0,0,0).

Resposta

\mathrm{proj}_{\vec v}\vec u=(0,0,0) \mathrm{proj}_{\vec u}\vec v=(0,0,0)

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