(1,0 ponto) Os vetores \vec{u}=(x, 2 x-1) e \vec{v}=(-2,4) são ortogonais. Então, o valor de x é igual a:
a) -\frac{3}{2}
b) -\frac{2}{3}
c) \frac{2}{5}
d) \frac{2}{3}
e) \frac{3}{2}

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(x,2x-1) e \vec{v}=(-2,4) e pede o valor de x para que eles sejam ortogonais. O conteúdo chave é o produto escalar e a condição de ortogonalidade.

Passo 2

Para que \vec{u} e \vec{v} sejam ortogonais, devemos ter
\vec{u}\cdot\vec{v} = 0.
Como o produto escalar em \mathbb{R}^2 é dado por soma de produtos das componentes, escrevemos
\vec{u}\cdot\vec{v} = x\cdot(-2) + (2x-1)\cdot4 = 0.

Passo 3

Agora resolvemos a equação:
-2x + 8x - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 6x - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 6x = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.

Passo 4

O valor encontrado é x=\tfrac{2}{3}, que corresponde à alternativa (d).

Resposta

(d) \frac{2}{3}

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