Determine se o conjunto é ou não: (a) aberto; (b) conexo por caminhos; (c) simplesmente conexo.
{(x, y) \mid x+y \neq 1}

Passo 1

O enunciado define o conjunto
D = \{(x,y)\mid x+y \neq 1\}
e pede para verificarmos se D é (a) aberto; (b) conexo por caminhos; (c) simplesmente conexo.

Passo 2

Para ver se D é aberto, note que a condição x+y\neq 1 consiste em remover da reta
L = \{(x,y)\mid x+y = 1\}
que é um conjunto fechado em \mathbb{R}^2. Logo
D = \mathbb{R}^2 \setminus L
é o complemento de um fechado e, portanto, é aberto.

Passo 3

Para testar a conexão por caminhos, observamos que a reta L divide o plano em duas regiões:
R_1 = \{(x,y)\mid x+y<1\}, \quad R_2 = \{(x,y)\mid x+y>1\}.
Cada uma dessas metades é aberta e conexa por caminhos, mas não há como ir de um ponto de R_1 a um ponto de R_2 sem cruzar L, que está fora de D. Portanto D é desconexo e, em particular, não é conexo por caminhos.

Passo 4

Um conjunto simplesmente conexo precisa ser conectado (e ainda ter grupo fundamental trivial). Como D nem sequer é conectado, ele não pode ser simplesmente conexo.

Resposta

(a) Aberto.
(b) Não é conexo por caminhos.
(c) Não é simplesmente conexo.

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