Determine se o conjunto é ou não: (a) aberto; (b) conexo por caminhos; (c) simplesmente conexo.
{(x, y) \mid x+y \neq 1}
{(x, y) \mid x+y \neq 1}
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede para verificarmos se
é (a) aberto; (b) conexo por caminhos; (c) simplesmente conexo.
Passo 2
Para ver se
é aberto, note que a condição
consiste em remover da reta
que é um conjunto fechado em
. Logo
é o complemento de um fechado e, portanto, é aberto.
Passo 3
Para testar a conexão por caminhos, observamos que a reta
divide o plano em duas regiões:
Cada uma dessas metades é aberta e conexa por caminhos, mas não há como ir de um ponto de
a um ponto de
sem cruzar
, que está fora de
. Portanto
é desconexo e, em particular, não é conexo por caminhos.
Passo 4
Um conjunto simplesmente conexo precisa ser conectado (e ainda ter grupo fundamental trivial). Como
nem sequer é conectado, ele não pode ser simplesmente conexo.
Resposta
(a) Aberto.
(b) Não é conexo por caminhos.
(c) Não é simplesmente conexo.
(b) Não é conexo por caminhos.
(c) Não é simplesmente conexo.