Determine a série de Maclaurin para as seguintes funções:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a série de Maclaurin para a função
. A série de Maclaurin é uma forma de representar uma função como uma soma infinita de termos polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar saber qual é a série de Maclaurin da função seno e depois adaptar essa série para a nossa função específica.
Passo 2
Vamos começar lembrando a série de Maclaurin para a função seno. A série de Maclaurin para
é:
Isso significa que podemos escrever o seno como uma soma infinita onde cada termo envolve uma potência ímpar de
e os fatoriais correspondentes no denominador.
Passo 3
Agora, observe que na nossa função
, temos
em vez de
. Para adaptar a série de Maclaurin da função seno para
, substituímos
por
na série original:
Aqui, elevamos
à potência
, o que resulta em
.
Passo 4
Agora, multiplicamos a série que obtivemos por
para encontrar a série de Maclaurin para
:
Multiplicando
por
resulta em
.
Resposta
A série de Maclaurin para
é: