Determine a série de Maclaurin para as seguintes funções:
f(x)=x^2 sin (x^3).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar a série de Maclaurin para a função . A série de Maclaurin é uma forma de representar uma função como uma soma infinita de termos polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar saber qual é a série de Maclaurin da função seno e depois adaptar essa série para a nossa função específica.

Passo 2

Vamos começar lembrando a série de Maclaurin para a função seno. A série de Maclaurin para sin(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+1(2n+1)! é:
Isso significa que podemos escrever o seno como uma soma infinita onde cada termo envolve uma potência ímpar de e os fatoriais correspondentes no denominador.

Passo 3

Agora, observe que na nossa função sin(x^3) = sumn=0^infty (-1)^n (x^3)^2n+1(2n+1)! = sumn=0^infty (-1)^n x^6n+3(2n+1)! , temos em vez de . Para adaptar a série de Maclaurin da função seno para , substituímos por na série original:
Aqui, elevamos à potência , o que resulta em .

Passo 4

Agora, multiplicamos a série que obtivemos por f(x) = x^2 sin(x^3) = x^2 cdot sumn=0^infty (-1)^n x^6n+3(2n+1)! = sumn=0^infty (-1)^n x^6n+5(2n+1)! para encontrar a série de Maclaurin para :
Multiplicando por resulta em .

Resposta

A série de Maclaurin para f(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^6n+5(2n+1)! é:

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