Determine, o conjunto de pontos de continuidade e diferenciabilidade da função dada.
f(x)= 5-6 x, & se x <= 3 -4-x^2, & se x>3

Passo 1

O enunciado pede para determinar onde a função
f(x)=5-6x,&x<=3-4-x^2,&x>3
é contínua e diferenciável. Vamos usar teoria de limites para continuidade e derivadas laterais para diferenciabilidade.

Passo 2

Em cada ramo ( x<3 e x>3) temos funções polinomiais ou lineares, logo contínuas em seus interiores. O único ponto a verificar é x=3. Calculamos:
limxto3^-f(x)=5-6cdot3=-13,
limxto3^+f(x)=-4-3^2=-13,
f(3)=5-6cdot3=-13.
Como limites laterais e valor coincidem, f é contínua em x=3 e, portanto, contínua em R.

Passo 3

Para diferenciabilidade, cada ramo é diferenciável em seu interior, com
f'(x)=-6 para x<3 e f'(x)=-2x para x>3. No ponto x=3, calculamos as derivadas laterais:
f'-(3)=-6 e f'+(3)=-2cdot3=-6.
Como as derivadas laterais coincidem, f é diferenciável em x=3 e, portanto, diferenciável em R.

Resposta

O conjunto de pontos de continuidade de f é R e o conjunto de pontos de diferenciabilidade de f é R.

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