Determine, o conjunto de pontos de continuidade e diferenciabilidade da função dada.
Passo 1
O enunciado pede para determinar onde a função
é contínua e diferenciável. Vamos usar teoria de limites para continuidade e derivadas laterais para diferenciabilidade.
é contínua e diferenciável. Vamos usar teoria de limites para continuidade e derivadas laterais para diferenciabilidade.
Passo 2
Em cada ramo (
e
) temos funções polinomiais ou lineares, logo contínuas em seus interiores. O único ponto a verificar é
. Calculamos:
,
,
.
Como limites laterais e valor coincidem, é contínua em
e, portanto, contínua em
.
Como limites laterais e valor coincidem,
Passo 3
Para diferenciabilidade, cada ramo é diferenciável em seu interior, com
para
e
para
. No ponto
, calculamos as derivadas laterais:
e
.
Como as derivadas laterais coincidem, é diferenciável em
e, portanto, diferenciável em
.
Como as derivadas laterais coincidem,
Resposta
O conjunto de pontos de continuidade de
é
e o conjunto de pontos de diferenciabilidade de
é
.