Determine, o conjunto de pontos de continuidade e diferenciabilidade da função dada.
f(x)= x^2-7, & se 03

Passo 1

A função é definida por partes como f(x)=x²−7 para 0<x≤3 e f(x)=6/x para x>3. O conteúdo é continuidade e diferenciabilidade de função por partes — vamos checar intervalo a intervalo e depois no ponto de junção x=3.

Passo 2

Para 0<x<3, f(x)=x²−7 é um polinômio, portanto contínuo e derivável em todo ponto desse intervalo. Para x>3, f(x)=6/x é uma função racional sem zeros no denominador em (3,∞), logo também contínua e derivável em cada ponto desse intervalo.

Passo 3

Em x=3, avalio os limites laterais. Da esquerda temos limxto3^-(x^2-7)=3^2-7=2. Da direita limxto3^+6x=63=2. E o valor f(3)=3^2-7=2. Como limites e valor coincidem, f é contínua em x=3.

Passo 4

Agora diferenciabilidade: derivada para 0<x<3 é f'(x)=2x, definida e contínua em (0,3). Para x>3 a derivada é f'(x)=-6/x^2, definida em (3,∞). Assim f é derivável em todo ponto, exceto talvez em x=3.

Passo 5

Para testar diferenciabilidade em x=3 calculo as derivadas laterais: f'-(3)=2cdot3=6 e f'+(3)=-6/3^2=-2/3. Como 6≠−2/3, f não é diferenciável em x=3.

Resposta

Conjunto de continuidade: (0,∞). Conjunto de diferenciabilidade: (0,3)∪(3,∞).

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