Determine, o conjunto de pontos de continuidade e diferenciabilidade da função dada.
Passo 1
A função é definida por partes como f(x)=x²−7 para 0<x≤3 e f(x)=6/x para x>3. O conteúdo é continuidade e diferenciabilidade de função por partes — vamos checar intervalo a intervalo e depois no ponto de junção x=3.
Passo 2
Para 0<x<3, f(x)=x²−7 é um polinômio, portanto contínuo e derivável em todo ponto desse intervalo. Para x>3, f(x)=6/x é uma função racional sem zeros no denominador em (3,∞), logo também contínua e derivável em cada ponto desse intervalo.
Passo 3
Em x=3, avalio os limites laterais. Da esquerda temos
. Da direita
. E o valor
. Como limites e valor coincidem, f é contínua em x=3.
Passo 4
Agora diferenciabilidade: derivada para 0<x<3 é
, definida e contínua em (0,3). Para x>3 a derivada é
, definida em (3,∞). Assim f é derivável em todo ponto, exceto talvez em x=3.
Passo 5
Para testar diferenciabilidade em x=3 calculo as derivadas laterais:
e
. Como 6≠−2/3, f não é diferenciável em x=3.
Resposta
Conjunto de continuidade: (0,∞). Conjunto de diferenciabilidade: (0,3)∪(3,∞).