Resolva a equação diferencial pelo método de separação de variáveis.
Passo 1
O problema pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x² y′ = 1 − x² + y² − x² y²
pelo método de separação de variáveis. Aqui o conteúdo é EDOs separáveis: vamos fatorar termos, separar x e y e integrar cada lado.
x² y′ = 1 − x² + y² − x² y²
pelo método de separação de variáveis. Aqui o conteúdo é EDOs separáveis: vamos fatorar termos, separar x e y e integrar cada lado.
Passo 2
Primeiro reorganizamos a EDO isolando y′ = dy/dx. Observando o lado direito, podemos fatorar:
Logo, temos
Passo 3
Agora fazemos a separação de variáveis: dividimos ambos os lados por (1 + y²) e multiplicamos por dx, além de dividir por x²:
A equação está pronta para ser integrada, com todos os y de um lado e os x do outro.
Passo 4
Integramos cada lado usando formas conhecidas:
Juntando e absorvendo constantes em uma só, chamamos de C.
Passo 5
Escrevemos a solução implícita igualando as integrais:
Uma forma equivalente é
Passo 6
Finalmente, isolamos y para obter a solução explícita em termos de tangente: