Resolva a equação diferencial pelo método de separação de variáveis.
x^2 y^prime=1-x^2+y^2-x^2 y^2

Passo 1

O problema pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x² y′ = 1 − x² + y² − x² y²
pelo método de separação de variáveis. Aqui o conteúdo é EDOs separáveis: vamos fatorar termos, separar x e y e integrar cada lado.

Passo 2

Primeiro reorganizamos a EDO isolando y′ = dy/dx. Observando o lado direito, podemos fatorar:
x^2 dydx = (1 + y^2) - x^2(1 + y^2) = (1 + y^2)(1 - x^2)
Logo, temos
dydx = (1 + y^2)(1 - x^2)x^2

Passo 3

Agora fazemos a separação de variáveis: dividimos ambos os lados por (1 + y²) e multiplicamos por dx, além de dividir por x²:
dy1 + y^2 = 1 - x^2x^2,dx = l(x^-2 - 1r),dx
A equação está pronta para ser integrada, com todos os y de um lado e os x do outro.

Passo 4

Integramos cada lado usando formas conhecidas:
integral dy1 + y^2 = arctan(y) + C1,
integral l(x^-2 - 1r)dx = integral x^-2dx - integral 1,dx = -1x - x + C2
Juntando e absorvendo constantes em uma só, chamamos de C.

Passo 5

Escrevemos a solução implícita igualando as integrais:
arctan(y) = -1x - x + C
Uma forma equivalente é
arctan(y) + x + 1x = C

Passo 6

Finalmente, isolamos y para obter a solução explícita em termos de tangente:
y(x) = tanl(C - x - 1xr)

Resposta

y(x) = tanl(C - x - 1xr)

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