Esboce a região de integração e escreva uma integral dupla equivalente com a or integração invertida.
Passo 1
Vamos entender o que o enunciado pede: a integral dada é
o conteúdo aqui é integração dupla e a missão é inverter a ordem de integração. Para isso, a gente precisa esboçar a região de integração D no plano (x,y) e depois projetá-la no eixo y.
Passo 2
Para esboçar D, observamos as fronteiras:
- x varia de 0 a 1;
- para cada x, y varia de 2 até a reta y = 4 − 2x.
No plano, traçamos as linhas x=0, x=1, y=2 e a reta y=4−2x (que intercepta y em 4 e tem declive −2). A região D fica entre y=2 e y=4−2x, para 0≤x≤1.
Passo 3
Agora projetamos D no eixo y para achar o intervalo total de y. Na fronteira de cima, em x=0, y=4−2·0=4. Na fronteira de baixo, y está sempre em 2. Logo y varia de 2 até 4.
Passo 4
Para cada y fixo em [2,4], precisamos achar os limites de x. Sabemos que y≤4−2x e também x≥0. Isolando x em y≤4−2x:
Como x também é ≥0, concluímos:
Passo 5
Com isso, a integral com a ordem invertida (primeiro em x, depois em y) fica: