Determine o conjunto dos pontos de continuidade das funções abaixo:
f(x, y)=\frac{\operatorname{sen}(x y)}{e^{x}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de continuidade da função
f(x,y)=\frac{\operatorname{sen}(xy)}{e^{x}-y^{2}}.
O conteúdo aqui é continuidade de funções obtidas por operações (soma, produto, quociente) de funções contínuas. Vamos usar que a composição de contínuas é contínua e que o quociente só é contínuo onde o denominador não zera.

Passo 2

Analisamos cada parte:
  1. A função (x,y)\mapsto xy é polinomial, logo contínua em \mathbb{R}^2.
  2. A função t\mapsto\operatorname{sen}(t) é contínua em \mathbb{R}. Logo (x,y)\mapsto\operatorname{sen}(xy) é contínua por composição.
  3. A função (x,y)\mapsto e^{x} é contínua em \mathbb{R}^2 e (x,y)\mapsto y^{2} também é contínua. Logo
(x,y)\mapsto e^{x}-y^{2}
é contínua.

Passo 3

Para a função f existir e ser contínua, precisamos ter o denominador diferente de zero:
e^{x}-y^{2}\neq0.
Pelo teorema do quociente, f é contínua em todo ponto (x,y) onde e^{x}-y^{2}\neq0.

Resposta

O conjunto de continuidade de f é
\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid e^{x}-y^{2}\neq0\bigr\},
isto é, todos os (x,y) tais que y\neq \pm e^{x/2}.

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