(2,0) Calcule e justifique. (sem L’Hospital)
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sqrt{x+5}-\sqrt{5}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{x}{\sqrt{x+5}-\sqrt{5}}
Esse é um caso de limite que gera a forma indeterminada 0/0. Vamos usar a técnica de racionalização do denominador para resolver sem L’Hospital.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada por substituição direta:
\frac{0}{\sqrt{0+5}-\sqrt{5}}=\frac{0}{\sqrt{5}-\sqrt{5}}=\frac{0}{0}.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, isto é, \sqrt{x+5}+\sqrt{5}:
\frac{x}{\sqrt{x+5}-\sqrt{5}}\;\times\;\frac{\sqrt{x+5}+\sqrt{5}}{\sqrt{x+5}+\sqrt{5}} =\frac{x\bigl(\sqrt{x+5}+\sqrt{5}\bigr)}{(x+5)-5}.

Passo 4

No denominador fica (x+5)-5 = x, então cancelamos x:
\frac{x\bigl(\sqrt{x+5}+\sqrt{5}\bigr)}{x} =\sqrt{x+5}+\sqrt{5}.

Passo 5

Agora basta avaliar o limite de x\to0:
\lim_{x\to0}\bigl(\sqrt{x+5}+\sqrt{5}\bigr) =\sqrt{5}+\sqrt{5} =2\sqrt{5}.

Resposta

2\sqrt{5}

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