(2,0) Encontre a derivada y^{\prime}, onde
y=\left(\frac{\sqrt{x}-6}{x+7}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y=\Bigl(\frac{\sqrt{x}-6}{x+7}\Bigr)^{3}.
O conteúdo envolve a regra da cadeia (para a potência cúbica), a regra do quociente (para \tfrac{\sqrt{x}-6}{x+7}) e a derivada de \sqrt{x}.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=\frac{\sqrt{x}-6}{x+7},
de modo que
y=u^3.
Pela regra da cadeia,
y'=3\,u^2\cdot u'.

Passo 3

Para achar u', usamos a regra do quociente com
f(x)=\sqrt{x}-6,\quad g(x)=x+7.
Então f'=\tfrac{1}{2\sqrt{x}} e g'=1, e
u'=\frac{f'\,g - f\,g'}{g^2} =\frac{\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+7)-(\sqrt{x}-6)\cdot1}{(x+7)^2}.

Passo 4

Vamos simplificar o numerador de u'. Primeiro, coloque tudo sobre 2\sqrt{x}:
\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+7)-(\sqrt{x}-6) =\frac{x+7 -2\sqrt{x}(\sqrt{x}-6)}{2\sqrt{x}} =\frac{x+7 -2x +12\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} =\frac{12\sqrt{x}-x+7}{2\sqrt{x}}.
Logo
u'=\frac{12\sqrt{x}-x+7}{2\sqrt{x}\,(x+7)^2}.

Passo 5

Substituindo em
y'=3\,u^2\cdot u'
temos
y'=3\Bigl(\frac{\sqrt{x}-6}{x+7}\Bigr)^{2}\times\frac{12\sqrt{x}-x+7}{2\sqrt{x}\,(x+7)^2}.
Agrupando fatores semelhantes,
y'=\frac{3\,(\sqrt{x}-6)^{2}\,(12\sqrt{x}-x+7)}{2\,\sqrt{x}\,(x+7)^{4}}.

Resposta

y'=\frac{3\,(\sqrt{x}-6)^{2}\,\bigl(12\sqrt{x}-x+7\bigr)}{2\,\sqrt{x}\,(x+7)^{4}}.

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