Determine as curvas de nível para e esboce o gráfico:
, com
e
Passo 1
O enunciado dá a função f(x,y)=x² com domínio x∈[0,1] e y≥0. Precisamos achar as curvas de nível, isto é, as coleções de pontos onde f(x,y) é constante, e depois esboçar essas curvas.
Passo 2
Por definição, a curva de nível de valor k é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=k. Aqui, isso significa resolver x²=k.
Passo 3
Resolvendo x²=k obtemos x=±√k. Como k≥0, essas são as duas soluções formais, mas há restrição de domínio.
Passo 4
O domínio impõe x∈[0,1], logo só aceitamos x=√k e, para existir solução, precisamos de 0≤k≤1. Não há restrição em y além de y≥0, então y é livre nessa faixa.
Passo 5
Concluímos que, para cada k∈[0,1], a curva de nível é a reta vertical x=√k com y≥0. No esboço, basta desenhar várias retas verticais entre x=0 e x=1 sobre o semiplano y≥0.
Resposta
As curvas de nível são, para cada k∈[0,1], a reta vertical x=√k no semiplano y≥0.