Dada f(x, y)=x y e^{x y}, determine \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} e \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x,y)=x\,y\,e^{x y}
e pede as derivadas mistas \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} e \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}. Vamos usar as regras de derivação parcial, em particular o produto e a cadeia, e depois aplicar a igualdade das derivadas mistas (Teorema de Clairaut), pois f é C^\infty.
Passo 2
Calculamos primeiro
\frac{\partial f}{\partial y}
tratando x como constante e usando que f=x\cdot\bigl(y\,e^{xy}\bigr). Então