Dada f(x, y)=x y e^{x y}, determine \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} e \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x\,y\,e^{x y}
e pede as derivadas mistas \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} e \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}. Vamos usar as regras de derivação parcial, em particular o produto e a cadeia, e depois aplicar a igualdade das derivadas mistas (Teorema de Clairaut), pois f é C^\infty.

Passo 2

Calculamos primeiro
\frac{\partial f}{\partial y}
tratando x como constante e usando que f=x\cdot\bigl(y\,e^{xy}\bigr). Então
\frac{\partial f}{\partial y} =x\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\,e^{xy}\bigr) =x\bigl(e^{xy}+y\cdot e^{xy}\cdot x\bigr) =x\,e^{xy}(1+x y).

Passo 3

Agora derivamos essa expressão em relação a x para obter
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl[x\,e^{xy}(1+x y)\bigr].
Aplicando produto e cadeia:
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} =\underbrace{e^{xy}}_{D(x)}+\underbrace{x\,e^{xy}\,y}_{C(x)} +\underbrace{2x\,y\,e^{xy}}_{E(x)}+\underbrace{x^2\,y^2\,e^{xy}}_{F(x)} =e^{xy}+3x y\,e^{xy}+x^2y^2\,e^{xy}.

Passo 4

De forma análoga, começamos por
\frac{\partial f}{\partial x} =y\,e^{xy}+x\,y^2\,e^{xy} =y\,e^{xy}(1+x y)
e então derivamos em relação a y:
\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl[y\,e^{xy}(1+x y)\bigr] =e^{xy}+3x y\,e^{xy}+x^2y^2\,e^{xy}.

Passo 5

Como f é C^\infty, as derivadas mistas coincidem (Teorema de Clairaut). Logo
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} =\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} =e^{xy}\bigl(1+3xy+(xy)^2\bigr).

Resposta

\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} =\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} =e^{xy}\bigl(1+3xy+x^2y^2\bigr).

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