Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta.
f(x, y)=\frac{x-y}{\sqrt{1} x^{2} + y^{2}}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y) = \frac{x - y}{\sqrt{x^2 + y^2}}
e pede o conjunto dos pontos em que f é contínua.

Passo 2

Para começar, identifiquemos o domínio natural de f. A única restrição vem do denominador não poder ser zero, ou seja,
\sqrt{x^2 + y^2} \neq 0 \;\Longleftrightarrow\; x^2 + y^2 \neq 0 \;\Longleftrightarrow\; (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Em todo ponto (x,y) tal que (x,y)\neq(0,0), tanto o numerador x-y quanto o denominador \sqrt{x^2+y^2} são funções contínuas de (x,y), e o denominador nunca se anula. Logo, pela regra do quociente de funções contínuas, f é contínua em todo ponto do domínio identificado.

Passo 4

No ponto (0,0), a função não está nem definida (o denominador seria zero), de modo que não há continuidade ali.

Resposta

O conjunto de pontos de continuidade de f é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\;(x,y)\neq(0,0)\}.

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