Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
ou seja,
e
. O conteúdo é “equação exata” e “fator integrante”. Vamos verificar se é exata e, se não for, buscar um fator integrante.
Passo 2
Calculamos
Como
, não é exata. Testamos um fator integrante
dependendo só de
usando
que depende apenas de
. Logo
Para simplicidade tomamos
(assumindo
).
Passo 3
Multiplicando a equação por
obtemos
Agora definimos
e .
Verificamos
e
Verificamos
logo é exata.
Passo 4
Procuramos
tal que
Integramos em
:
Depois impomos
de onde
e
constante.
Resposta
A solução implícita geral é
ou, equivalentemente,
com
constante.