Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(2 y^{3}+2) d x+3 x y^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
(2y^{3}+2)\,dx + 3x\,y^{2}\,dy = 0
ou seja, M(x,y)=2y^{3}+2 e N(x,y)=3x\,y^{2}. O conteúdo é “equação exata” e “fator integrante”. Vamos verificar se é exata e, se não for, buscar um fator integrante.

Passo 2

Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2y^{3}+2) =6y^{2}, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(3x\,y^{2}) =3y^{2}.
Como 6y^{2}\neq3y^{2}, não é exata. Testamos um fator integrante \mu(x) dependendo só de x usando
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} =\frac{6y^{2}-3y^{2}}{3x\,y^{2}} =\frac{3y^{2}}{3x\,y^{2}} =\frac{1}{x},
que depende apenas de x. Logo
\mu(x)=\exp\Bigl(\int\frac{1}{x}\,dx\Bigr) =\exp(\ln|x|) =|x|.
Para simplicidade tomamos \mu(x)=x (assumindo x>0).

Passo 3

Multiplicando a equação por \mu(x)=x obtemos
(2x\,y^{3}+2x)\,dx + (3x^{2}y^{2})\,dy =0.
Agora definimos \widetilde M(x,y)=2x\,y^{3}+2x
e \widetilde N(x,y)=3x^{2}y^{2}.
Verificamos
\frac{\partial\widetilde M}{\partial y} =6x\,y^{2}, \quad \frac{\partial\widetilde N}{\partial x} =6x\,y^{2},
logo é exata.

Passo 4

Procuramos \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} =\widetilde M =2x\,y^{3}+2x.
Integramos em x:
\psi(x,y) =\int(2x\,y^{3}+2x)\,dx =x^{2}y^{3}+x^{2}+h(y).
Depois impomos
\frac{\partial \psi}{\partial y} =3x^{2}y^{2}+h'(y) \stackrel!=\widetilde N =3x^{2}y^{2},
de onde h'(y)=0 e h(y)= constante.

Resposta

A solução implícita geral é
\psi(x,y)=x^{2}y^{3}+x^{2}=C,
ou, equivalentemente,
x^{2}(y^{3}+1)=C,
com C constante.

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