Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta.
\vec{F}(t)=\sqrt{t-1} \vec{i}+\sqrt{t+1} \vec{j}+e^{t} \vec{k}.

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de pontos em que \displaystyle \vec F(t)=\sqrt{t-1}\,\vec i+\sqrt{t+1}\,\vec j+e^{t}\,\vec k
é contínua. Vamos usar que uma função vetor é contínua quando cada componente é contínua no seu domínio.

Passo 2

Determinar o domínio de \vec F exigindo que os radicandos sejam não negativos:
t-1\ge0 \quad\text{e}\quad t+1\ge0.
A primeira dá t\ge1, a segunda dá t\ge-1. A interseção é t\ge1. Logo o domínio natural de \vec F é [1,\infty).

Passo 3

Verificar a continuidade de cada componente em [1,\infty):
  1. \displaystyle f_1(t)=\sqrt{t-1} é contínua em [1,\infty) porque a função raiz quadrada é contínua em seu domínio [0,\infty), e t-1 varia em [0,\infty) quando t\in[1,\infty).
  2. \displaystyle f_2(t)=\sqrt{t+1} é contínua em [1,\infty) pois a raiz quadrada é contínua em [0,\infty) e t+1\ge2>0.
  3. \displaystyle f_3(t)=e^t é contínua em \mathbb{R}, logo em particular em [1,\infty).

Passo 4

Como todas as três componentes são contínuas para t\ge1, a função vetor \vec F(t) é contínua exatamente em [1,\infty).

Resposta

O conjunto de pontos de continuidade de \vec F é [1,\infty).

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