Sejam \vec{F}(t)=t \vec{i}+\vec{j}+e^{t} \vec{k} e \vec{G}(t)=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}. Calcule
\int_{0}^{1}(\vec{F}(t) \wedge \vec{G}(t)) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular o vetor
\int_{0}^{1}\bigl(\vec F(t)\wedge\vec G(t)\bigr)\,dt
onde \vec F(t)=t\,\vec i+\vec j+e^{t}\,\vec k
e \vec G(t)=\vec i+\vec j+\vec k.
O conteúdo principal é o produto vetorial via determinante e a integração componente a componente de um vetor.

Passo 2

Vamos primeiro montar o produto vetorial
\vec F(t)\wedge\vec G(t) =\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\[6pt] t & 1 & e^{t} \\[3pt] 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}.
Explicando: para cada componente usamos menores algébricos. Logo
\vec F(t)\wedge\vec G(t) =\vec i\,(1\cdot1 - e^{t}\cdot1) -\vec j\,(t\cdot1 - e^{t}\cdot1) +\vec k\,(t\cdot1 - 1\cdot1).
Isto é,
\vec F(t)\wedge\vec G(t) =(1 - e^{t})\,\vec i \;+\;(e^{t}-t)\,\vec j\;+\;(t-1)\,\vec k.]

Passo 3

Agora escrevemos a integral como a soma de três integrais escalares:
\int_{0}^{1}\bigl(\vec F\wedge\vec G\bigr)\,dt =\Bigl(\int_{0}^{1}(1 - e^{t})\,dt\Bigr)\vec i +\Bigl(\int_{0}^{1}(e^{t}-t)\,dt\Bigr)\vec j +\Bigl(\int_{0}^{1}(t-1)\,dt\Bigr)\vec k.

Passo 4

Calculamos cada uma:
  1. \displaystyle\int_{0}^{1}(1 - e^{t})\,dt =\bigl[t - e^{t}\bigr]_{0}^{1} =(1 - e)-(0 - 1)=2 - e.
  2. \displaystyle\int_{0}^{1}(e^{t}-t)\,dt =\bigl[e^{t}-\tfrac{t^{2}}{2}\bigr]_{0}^{1} =(e - \tfrac12)-(1-0)=e-\tfrac32.
  3. \displaystyle\int_{0}^{1}(t-1)\,dt =\bigl[\tfrac{t^{2}}{2}-t\bigr]_{0}^{1} =(\tfrac12-1)-0=-\tfrac12. Portanto a integral vetorial é
(2 - e)\,\vec i \;+\;\Bigl(e - \tfrac32\Bigr)\,\vec j \;-\;\tfrac12\,\vec k.

Resposta

(2 - e)\,\vec i + \Bigl(e - \tfrac{3}{2}\Bigr)\,\vec j - \tfrac{1}{2}\,\vec k.

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