Sejam \vec{F}=\left(F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{n}\right), \vec{G}=\left(G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{n}\right) duas funções de uma variável real a valores em \mathbb{R}^{n} e f uma função de uma variável real a valores reais. Suponha que \lim _{t \rightarrow t_{0}} \bar{F}(t)=a, \lim _{t \rightarrow t_{0}} \vec{G}(t)=\vec{b} e \lim _{t \rightarrow t_{0}} f(t)=L, onde \vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right), \vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right)^{L} real. Prove:
\lim _{t \rightarrow t_{0}} f(t) \vec{F}(t)=L \vec{a}.

Passo 1

O enunciado dá duas funções vetoriais \vec F,\vec G:\mathbb R\to\mathbb R^n e uma função escalar f:\mathbb R\to\mathbb R, com
\lim_{t\to t_0}\vec F(t)=\vec a, \qquad \lim_{t\to t_0}\vec G(t)=\vec b, \qquad \lim_{t\to t_0}f(t)=L.
Queremos mostrar que
\lim_{t\to t_0}\bigl(f(t)\,\vec F(t)\bigr)=L\,\vec a.
O conteúdo envolvido é o limite de funções vetoriais e o uso da desigualdade triangular em \mathbb R^n.

Passo 2

Para provar \lim_{t\to t_0}\bigl(f(t)\,\vec F(t)\bigr)=L\,\vec a, usamos a definição de limite em \mathbb R^n: \vec H(t)\to\vec H_0 quando \|\vec H(t)-\vec H_0\|\to0. Note que
f(t)\,\vec F(t)-L\,\vec a = f(t)\bigl(\vec F(t)-\vec a\bigr) +\bigl(f(t)-L\bigr)\,\vec a.
Logo, pela desigualdade triangular em norma euclidiana \|\cdot\|, temos
\bigl\|f(t)\,\vec F(t)-L\,\vec a\bigr\| \le \bigl|f(t)\bigr|\;\bigl\|\vec F(t)-\vec a\bigr\| + \bigl|f(t)-L\bigr|\;\bigl\|\vec a\bigr\|.

Passo 3

Dado \varepsilon>0, como \lim_{t\to t_0}f(t)=L, existe \delta_1>0 tal que
|t-t_0|<\delta_1 \quad\Longrightarrow\quad |f(t)-L|<\frac{\varepsilon}{2\,\|\vec a\|+1}.
Também, \lim_{t\to t_0}\vec F(t)=\vec a implica que existe \delta_2>0 tal que
|t-t_0|<\delta_2 \quad\Longrightarrow\quad \|\vec F(t)-\vec a\|<\frac{\varepsilon}{2\bigl(|L|+1\bigr)}.
Além disso, para t próximo de t_0, digamos |t-t_0|<\delta_1, temos \bigl|f(t)\bigr|\le|L|+|f(t)-L|<|L|+1.
Escolhendo \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}, quando |t-t_0|<\delta vale
\bigl\|f(t)\,\vec F(t)-L\,\vec a\bigr\| \le \bigl(|L|+1\bigr)\,\frac{\varepsilon}{2\bigl(|L|+1\bigr)} + \frac{\varepsilon}{2\,\|\vec a\|+1}\,\|\vec a\| <\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2 =\varepsilon.

Passo 4

Como para todo \varepsilon>0 encontramos \delta>0 com \|f(t)\,\vec F(t)-L\,\vec a\|<\varepsilon sempre que |t-t_0|<\delta, concluímos pela definição de limite em \mathbb R^n que
\lim_{t\to t_0}\bigl(f(t)\,\vec F(t)\bigr)=L\,\vec a.

Resposta

\displaystyle \lim_{t\to t_0} f(t)\,\vec F(t)=L\,\vec a.

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