Sejam \vec{F}=\left(F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{n}\right), \vec{G}=\left(G_{1}, G_{2}, \ldots, G_{n}\right) duas funções de uma variável real a valores em \mathbb{R}^{n} e f uma função de uma variável real a valores reais. Suponha que \lim _{t \rightarrow t_{0}} \bar{F}(t)=a, \lim _{t \rightarrow t_{0}} \vec{G}(t)=\vec{b} e \lim _{t \rightarrow t_{0}} f(t)=L, onde \vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right), \vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right)^{L} real. Prove: \lim _{t \rightarrow t_{0}} f(t) \vec{F}(t)=L \vec{a}.
Passo 1
O enunciado dá duas funções vetoriais \vec F,\vec G:\mathbb R\to\mathbb R^n e uma função escalar f:\mathbb R\to\mathbb R, com
\lim_{t\to t_0}\bigl(f(t)\,\vec F(t)\bigr)=L\,\vec a.
O conteúdo envolvido é o limite de funções vetoriais e o uso da desigualdade triangular em \mathbb R^n.
Passo 2
Para provar \lim_{t\to t_0}\bigl(f(t)\,\vec F(t)\bigr)=L\,\vec a, usamos a definição de limite em \mathbb R^n: \vec H(t)\to\vec H_0 quando \|\vec H(t)-\vec H_0\|\to0. Note que
f(t)\,\vec F(t)-L\,\vec a = f(t)\bigl(\vec F(t)-\vec a\bigr) +\bigl(f(t)-L\bigr)\,\vec a.
Logo, pela desigualdade triangular em norma euclidiana \|\cdot\|, temos
Além disso, para t próximo de t_0, digamos |t-t_0|<\delta_1, temos \bigl|f(t)\bigr|\le|L|+|f(t)-L|<|L|+1.
Escolhendo \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}, quando |t-t_0|<\delta vale
Como para todo \varepsilon>0 encontramos \delta>0 com \|f(t)\,\vec F(t)-L\,\vec a\|<\varepsilon sempre que |t-t_0|<\delta, concluímos pela definição de limite em \mathbb R^n que
\lim_{t\to t_0}\bigl(f(t)\,\vec F(t)\bigr)=L\,\vec a.
Resposta
\displaystyle \lim_{t\to t_0} f(t)\,\vec F(t)=L\,\vec a.