Determine o conjunto dos pontos de continuidade
f(x, y)=llx sen 1x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 3, & se (x, y)=(0,0)
f(x, y)=ccxraizx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir onde as funções dadas são contínuas. Estamos lidando com funções de duas variáveis, $ f(x, y) $. Precisamos analisar cada uma delas para ver em quais pontos elas são contínuas. Para isso, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite quando nos aproximamos desse ponto é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira função:
f(x, y) = x cdot sin(1x^2 + y^2), & se (x, y) neq (0,0) 3, & se (x, y) = (0,0)
Queremos saber se essa função é contínua no ponto (0,0).

Passo 3

Para verificar a continuidade no ponto (0,0), precisamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando f(x, y) se aproxima de (x, y) e ver se esse limite é igual a 3.
Vamos calcular o módulo de $ f(x, y) $:
(0,0)
Sabemos que $ |\sin(z)| \leq 1 $ para qualquer $ z $. Então:
f(x, y)
Quando $(x, y) $ se aproxima de |f(x, y)| = | x cdot sin(1x^2 + y^2) | , $ |x| $ também se aproxima de 0. Portanto:
|sin(z)| <= 1
Mas o valor da função em z é 3, diferente de 0. Isso significa que a função não é contínua nesse ponto.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda função:
f(x, y) = xraizx^2 + y^2, & se (x, y) neq (0,0) 0, & se (x, y) = (0,0)
Também queremos saber se essa função é contínua no ponto (0,0).

Passo 5

Vamos calcular o limite de $ f(x, y) $ quando f(x, y) se aproxima de (x, y). Primeiro, notamos que:
(0,0)
onde $ \theta $ é o ângulo polar. O valor de $ \cos(\theta) $ está sempre entre -1 e 1, mas depende da direção pela qual nos aproximamos de xraizx^2 + y^2 = cos(theta) . Isso significa que o limite pode variar dependendo do caminho, indicando que o limite não existe de forma única.
Por exemplo:
  • Se nos aproximarmos ao longo do eixo $ x $, então $ y = 0 $ e:
theta
  • Se nos aproximarmos ao longo do eixo $ y $, então $ x = 0 $ e:
cos(theta)
Como obtemos diferentes valores dependendo do caminho, o limite não existe.

Passo 6

Como o limite não existe, a função não é contínua no ponto (0,0). Fora desse ponto, as funções são compostas por expressões contínuas (como seno e funções racionais), então são contínuas em todos os outros pontos.

Resposta

Ambas as funções $ f(x, y) $ não são contínuas no ponto f(x, y) . Portanto, o conjunto de pontos de continuidade para cada função é todo (0,0) exceto o ponto R^2.

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