Faça o que se pede:
z=f(e^-u, u^2), onde f(x, y) é uma função diferenciável dada. Expresse partial zpartial u em termos das derivadas parciais de f.

Passo 1

O enunciado nos diz que temos uma função composta z=f(e{-u},u2), com f(x,y) diferenciável, e quer que a gente ache ∂z/∂u usando derivadas parciais de f.

Passo 2

Definimos as variáveis internas x(u)=e^{-u} e y(u)=u^2 e aplicamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
partial zpartial u=fxl(x(u),y(u)r)cdot x'(u)+fyl(x(u),y(u)r)cdot y'(u)

Passo 3

Calculamos as derivadas de x(u) e y(u):
x'(u)=ddue^-u=-e^-u, y'(u)=ddu(u^2)=2u

Passo 4

Substituímos x’(u) e y’(u) na fórmula da regra da cadeia e escrevemos o resultado em termos de f_x e f_y avaliadas em (e{-u},u2).

Resposta

partial zpartial u=-e^-u,fxl(e^-u,u^2r)+2u,fyl(e^-u,u^2r)

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