Calcule a integral de superfície. , é a superfície com equações parametrizadas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície , onde é uma superfície parametrizada pelas equações , e . Vamos usar o conceito de parametrização de superfícies e integrar sobre o domínio definido por e .
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como parametrizar a superfície . Sabemos que e . Como e são nossos parâmetros, precisamos também expressar em termos de e . Mas o enunciado não fornece uma equação para , então podemos assumir que é constante. Para simplificar, vamos considerar que . Assim, nossa parametrização fica:
Passo 3
Agora, para calcular a integral de superfície, precisamos encontrar o elemento de área . Isso envolve calcular o produto vetorial dos vetores derivados da parametrização em relação a e .
integral duplaS y z , dS = 2 integral0^2pi integral0^1 r^2 cos(2theta) cdot r , dr , dtheta = 2 integral0^2pi integral0^1 r^3 cos(2theta) , dr , dtheta
Passo 10
Vamos primeiro integrar em relação a integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14 :