Calcule a integral de superfície.
integral duplaS y z d S,
S é a superfície com equações parametrizadas
y=u+v, z=u-v, u^2+v^2 <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície , onde é uma superfície parametrizada pelas equações , e . Vamos usar o conceito de parametrização de superfícies e integrar sobre o domínio definido por e .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como parametrizar a superfície r(u, v) = (0, , u + v, , u - v) . Sabemos que e . Como e são nossos parâmetros, precisamos também expressar em termos de e . Mas o enunciado não fornece uma equação para , então podemos assumir que é constante. Para simplificar, vamos considerar que . Assim, nossa parametrização fica:

Passo 3

Agora, para calcular a integral de superfície, precisamos encontrar o elemento de área ru = partial rpartial u = (0, , 1, , 1) . Isso envolve calcular o produto vetorial dos vetores derivados da parametrização em relação a rv = partial rpartial v = (0, , 1, , -1) e .
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial ru times rv = i & j & k 0 & 1 & 1 0 & 1 & -1 :
ru times rv = i(1 cdot (-1) - 1 cdot 1) - j(0 cdot (-1) - 1 cdot 0) + k(0 cdot 1 - 1 cdot 0) = i(-2) - j(0) + k(0) = (-2, , 0, , 0)
Calculando o determinante:

Passo 5

O módulo do vetor resultante é:
|ru times rv| = raiz(-2)^2 + 0^2 + 0^2 = raiz4 = 2
Então, o elemento de área é:
dS = |ru times rv| , du , dv = 2 , du , dv

Passo 6

Agora, substituímos y z = (u + v)(u - v) = u^2 - v^2 e na função integranda pelas expressões em termos de e :

Passo 7

Agora, nossa integral de superfície fica:
integral duplaS y z , dS = integral duplaD (u^2 - v^2) cdot 2 , du , dv
onde é o domínio , que é um círculo de raio 1 no plano .

Passo 8

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, já que a região u = r cos theta é um círculo. Em coordenadas polares:
v = r sin theta
du , dv = r , dr , dtheta
O elemento de área em coordenadas polares é:

Passo 9

Reescrevendo a função integranda em coordenadas polares:
u^2 - v^2 = r^2 cos^2 theta - r^2 sin^2 theta = r^2 (cos^2 theta - sin^2 theta) = r^2 cos(2theta)
Então, a integral fica:
integral duplaS y z , dS = 2 integral0^2pi integral0^1 r^2 cos(2theta) cdot r , dr , dtheta = 2 integral0^2pi integral0^1 r^3 cos(2theta) , dr , dtheta

Passo 10

Vamos primeiro integrar em relação a integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14 :
2 cdot 14 integral0^2pi cos(2theta) , dtheta = 12 integral0^2pi cos(2theta) , dtheta
Então, a integral se torna:

Passo 11

Agora, integramos em relação a integral0^2pi cos(2theta) , dtheta = [ sin(2theta)2 ]0^2pi = sin(4pi) - sin(0)2 = 0 :

Resposta

integral duplaS y z , dS = 0

Exercícios relacionados