Determine o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções: f(x, y)=\left\{\begin{aligned} \frac{3 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se } \quad(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se } \quad(x, y)=(0,0)\end{aligned}\right.
e pede o conjunto de seus pontos de continuidade. O conteúdo envolve continuidade de funções de duas variáveis e, em particular, vamos usar a definição de limite e coordenadas polares para analisar o ponto (0,0).]
Passo 2
Para (x,y)\neq(0,0), a função é dada por um quociente de polinômios cujo denominador não se anula. Logo, nesses pontos f é uma combinação de operações contínuas (produto, soma e divisão por não zero) e, portanto, é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0).
Passo 3
Falta verificar a continuidade em (0,0). Precisamos calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}
e comparar ao valor f(0,0)=0. Em coordenadas polares, definindo