Determine o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções:
f(x, y)=\left\{\begin{aligned} \frac{3 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se } \quad(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se } \quad(x, y)=(0,0)\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede o conjunto de seus pontos de continuidade. O conteúdo envolve continuidade de funções de duas variáveis e, em particular, vamos usar a definição de limite e coordenadas polares para analisar o ponto (0,0).]

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0), a função é dada por um quociente de polinômios cujo denominador não se anula. Logo, nesses pontos f é uma combinação de operações contínuas (produto, soma e divisão por não zero) e, portanto, é contínua em todo ponto (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Falta verificar a continuidade em (0,0). Precisamos calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}
e comparar ao valor f(0,0)=0. Em coordenadas polares, definindo
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,
temos
f(r,\theta) =\frac{3(r\cos\theta)^{2}(r\sin\theta)}{r^{2}} =3r\cos^{2}\theta\sin\theta.
Ao fazermos r\to0 (independentemente de \theta), obtemos
\lim_{r\to0}3r\cos^{2}\theta\sin\theta=0.

Passo 4

Como
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0),
concluímos que f é contínua também em (0,0).

Resposta

O conjunto dos pontos de continuidade de f é \mathbb{R}^{2}.

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