Determine o conjunto de pontos de \mathbb{R}^{2} onde f é diferenciável
f(x, y)=\cos \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right).

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os pontos de \mathbb{R}^2 em que
f(x,y)=\cos\bigl(\sqrt{x^2+y^2}\bigr)
é diferenciável. O conteúdo principal é aplicar a regra da cadeia para composição de funções: (x,y)\mapsto r=\sqrt{x^2+y^2} e depois r\mapsto\cos(r). Vamos verificar separadamente o caso r>0 (isto é, (x,y)\neq(0,0)) e o caso (x,y)=(0,0).

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) temos r=\sqrt{x^2+y^2}>0. A função
r(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}
é diferenciável em todo ponto onde r>0, pois seus parciais existem e são contínuos. A função \cos(r) é C^\infty em \mathbb{R}. Logo, pela regra da cadeia,
f(x,y)=\cos\bigl(r(x,y)\bigr)
é diferenciável em todo ponto (x,y)\neq(0,0).

Passo 3

Falta verificar a diferenciabilidade em (0,0). Note que
f(0,0)=\cos\bigl(\sqrt{0^2+0^2}\bigr)=\cos(0)=1.
Para estudar a aproximação linear, usamos a expansão de Taylor de \cos(r) em r=0:
\cos(r)=1-\frac{r^2}{2}+o(r^2)\quad(r\to0).
Assim, para (x,y) próximo de (0,0) temos
f(x,y)-f(0,0)=\cos(r)-1=-\frac{r^2}{2}+o(r^2)\quad\text{com }r=\sqrt{x^2+y^2}.
Como r^2=x^2+y^2, concluímos
f(x,y)-1=-\frac{x^2+y^2}{2}+o\bigl(x^2+y^2\bigr),
ou seja,
f(x,y)-1=o\bigl(\sqrt{x^2+y^2}\bigr).
Isto mostra que há uma aproximação linear em (0,0) com diferencial nulo. Portanto f é diferenciável também em (0,0).

Resposta

A função f é diferenciável em todo o plano \mathbb{R}^2.

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