Determine o conjunto de pontos de
onde
é diferenciável
.
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os pontos de
em que
é diferenciável. O conteúdo principal é aplicar a regra da cadeia para composição de funções:
e depois
. Vamos verificar separadamente o caso
(isto é,
) e o caso
.
Passo 2
Para
temos
. A função
é diferenciável em todo ponto onde
, pois seus parciais existem e são contínuos. A função
é
em
. Logo, pela regra da cadeia,
é diferenciável em todo ponto
.
Passo 3
Falta verificar a diferenciabilidade em
. Note que
Para estudar a aproximação linear, usamos a expansão de Taylor de
em
:
Assim, para
próximo de
temos
Como
, concluímos
ou seja,
Isto mostra que há uma aproximação linear em
com diferencial nulo. Portanto
é diferenciável também em
.
Resposta
A função
é diferenciável em todo o plano
.