Determine o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções:
f(x, y)=\left\{\begin{aligned} \frac{x^{2} y^{2}}{\sqrt{y^{2}+1}-1}, & \text { se } \quad(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se } \quad(x, y)=(0,0)\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado define a função \r
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}y^{2}}{\sqrt{y^{2}+1}-1},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede o conjunto de pontos onde f é contínua. O conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis. Vamos verificar separadamente: (i) pontos onde a fórmula vale sem problema de divisão por zero; (ii) pontos onde a fórmula falha (denominador zero); (iii) o ponto (0,0).]

Passo 2

Analisamos o denominador
\sqrt{y^{2}+1}-1=0\quad\Longleftrightarrow\quad\sqrt{y^{2}+1}=1\quad\Longleftrightarrow\quad y=0.
Logo, para todo ponto (x_{0},y_{0}) com y_{0}\neq0, o denominador é não nulo. Como x\mapsto x^{2}y^{2} e (x,y)\mapsto\sqrt{y^{2}+1}-1 são funções contínuas, sua razão é contínua onde o denominador não se anula. Concluímos que f é contínua em todo ponto com y\neq0.

Passo 3

Se y=0 e x\neq0, temos denominador zero e numerador x^{2}\,0^{2}=0, ou seja, f(x,0) não está definido (expressão 0/0). Esses pontos não pertencem ao domínio de continuidade de f.

Passo 4

No ponto (0,0), f(0,0)=0 está definido, mas precisamos ver se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.
Para y\neq0, racionalizamos o denominador:
\frac{x^{2}y^{2}}{\sqrt{y^{2}+1}-1} =\frac{x^{2}y^{2}\bigl(\sqrt{y^{2}+1}+1\bigr)}{\bigl(\sqrt{y^{2}+1}-1\bigr)\bigl(\sqrt{y^{2}+1}+1\bigr)} =\frac{x^{2}y^{2}\bigl(\sqrt{y^{2}+1}+1\bigr)}{y^{2}} =x^{2}\bigl(\sqrt{y^{2}+1}+1\bigr).
Assim,
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) =\lim_{(x,y)\to(0,0)}x^{2}\bigl(\sqrt{y^{2}+1}+1\bigr) =0\cdot(1+1)=0
que coincide com f(0,0)=0. Logo f é contínua em (0,0).

Resposta

O conjunto dos pontos de continuidade de f é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:y\neq0\}\;\cup\;\{(0,0)\}.

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