Determine o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes funções: f(x, y)=\left\{\begin{aligned} \frac{x^{2} y^{2}}{\sqrt{y^{2}+1}-1}, & \text { se } \quad(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se } \quad(x, y)=(0,0)\end{aligned}\right.
e pede o conjunto de pontos onde f é contínua. O conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis. Vamos verificar separadamente: (i) pontos onde a fórmula vale sem problema de divisão por zero; (ii) pontos onde a fórmula falha (denominador zero); (iii) o ponto (0,0).]
Logo, para todo ponto (x_{0},y_{0}) com y_{0}\neq0, o denominador é não nulo. Como x\mapsto x^{2}y^{2} e (x,y)\mapsto\sqrt{y^{2}+1}-1 são funções contínuas, sua razão é contínua onde o denominador não se anula. Concluímos que f é contínua em todo ponto com y\neq0.
Passo 3
Se y=0 e x\neq0, temos denominador zero e numerador x^{2}\,0^{2}=0, ou seja, f(x,0) não está definido (expressão 0/0). Esses pontos não pertencem ao domínio de continuidade de f.
Passo 4
No ponto (0,0), f(0,0)=0 está definido, mas precisamos ver se